Bài 105904

Question

Trong không gian với hệ tọa độ Đề các cho một điểm $A(1;2;1)$ và đường thẳng $(d):$
$\frac{x}{3} = \frac{y - 1}{4} = z + 3$
$1$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A$ và chứa đường thẳng ($d).$
$2$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $(d)$

Tiểu Bắc · Answer 1 · 5/28/2012 10:23:03 AM

$1.$ Đường thằng đã cho có phương trình tổng quát là :
$\begin{cases}\frac{x}{3}=z+3 \\ \frac{y-1}{4}=z+3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x-3z-9=0 \\ y-4z-13=0 \end{cases} $
chùm mặt phảng nhận đường thẳng đã cho làm trục có phương trình là :
$\lambda(x-3z-9)+\mu(y-4z-13)=0$
$\Leftrightarrow \lambda x+\mu y-(3\lambda +4\mu )z-(9\lambda +13\mu)=0$
Mặt phẳng qua $A(1,2,1)$ và chứa đường thẳng $d$ đã cho là mặt phẳng thuộc chùm và qua $A(1,2,1)$ nên :
$\lambda .1+2.\mu -(3\lambda +4\mu ).1-(9\lambda +13\mu)=0$
$\Leftrightarrow -11\lambda -15\mu =0$ có thể chọn $\lambda =15,\mu=-11.$
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là
$15x-11y-z+8=0$
$2.$ Chọn $B(0;1;-3)\in (d)$

Ta có vectơ chỉ phương của (d) :$\overrightarrow{u}(3;4;1)$

$\Rightarrow\overrightarrow{AB}(-1;-1;-4)\Rightarrow [(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{u})]=(15;-11;-1)$

$\Rightarrow d(A,(d))=\frac{|[(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{u})]|}{|\overrightarrow{u}|}$$=\frac{\sqrt{347}}{\sqrt{26}}$