$2x^4- 17x^3+ 51x^2 - (36 + k)x + k = 0     (1)$
$1.$ Dễ thấy $\forall  k,x=1$ luôn thỏa mãn phương trình.Vậy $(1)$có một nghiệm không phụ thuộc tham số $k$
$2.$ Do $x=1$ là một nghiệm, $(1)$ có thể phân tích thành
$(x-1)(2x^3-15x^2+36x-k)=0$
$\Leftrightarrow  \begin{cases}x=1 \\ k=2x^3-15x^2+36x             (2) \end{cases} $
$a)   x=1$ sẽ là một nghiệm của $(2)\Leftrightarrow  k=2-15+36\Leftrightarrow  k=23$
Khi $k=23$ thì $(2)\Leftrightarrow  2x^3-15x^2+36x-23=0\Leftrightarrow  x=1$
Do đó khi $k=23$ thì $(1)$ có một nghiệm duy nhất $x=1$ (nghiệm kép)
$b) $ Nếu $k\neq  23$ thì $x=1$ không là nghiệm của $(2)$ nên số nghiệm của $(1)=1+$số nghiệm của $(2)$
Xét $f(x)=2x^3-15x^2+36x$ ta có
$f'(x)=6x^2-30x+36=6(x^2-5x+6)$

Từ bảng bién thiên của $f(x)$ ta thấy :
Nếu $\left[ \begin{array}{l}k>28\\\begin{cases}k<27\\k\neq  23\end{cases}\end{array} \right. $ thì $(2)$ có nghiệm duy nhất
$\Rightarrow  (1) $ có hai nghiệm phân biệt.
Nếu $k=27$ hoặc $k=28$ thì $(2)$ có hai nghiệm phân biệt,$(1)$ có ba nghiệm phân biệt (hai nghiệm đơn và một nghiệm kép)
Nếu $27<k<28$ thì $(1)$ có bốn  nghiệm phân biệt

 a) $T=\widehat{BAC}+\widehat{CBD}+\overrightarrow{ACB}=180^0$
b) Vẽ $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CN}=\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{CA}$
$K=(\overrightarrow{BM}, \overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CN}, \overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{AB})$
     $=180^0-B+180^0-C+180^0-A$
     $=540^0-(A+B+C)=360^0$.

Vì $BM$ và $CN$ cùng vuông góc với $AN$ nên $BM\parallel CN$. Suy ra $\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$ không đổi.
Nếu gọi $I$ là giao điểm của $BN$ và $CM$ thì $\frac{BI}{IN}=\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$ hay
$\frac{BI}{BI+IN}=\frac{AB}{AB+AC},  $ tức là $\frac{BI}{BN}=\frac{AB}{AB+AC}. $
Đặt $AB=2R$ và $AC=2R'$ thì $\frac{AB}{AB+AC}=\frac{R}{R+R'} $ (không đổi).
Đặt $k= \frac{R}{R+R'} $ ta có $\overrightarrow{BI}=k \overrightarrow{BN}$.
Vì $N$ chạy trên $(O')$ nên quỹ tích $I$ là đường tròn tâm $(O'')$, ảnh của $(O')$ qua phép vị tự tâm $B$, tỉ số $k=\frac{R}{R+R'} $.     

a) Gọi $C_{0}$ là trung điểm cạnh $AB$, ta có: $\overrightarrow{C_{0}G}=\frac{1}{3}\overrightarrow{C_{0}C} $.
Gọi  $O_{1}$ là điểm cố định được xác định bởi $\overrightarrow{C_0O_{1}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{C_{0}O}.$
Suy ra: $GO_1 \parallel CO$ và $O_1G=\frac{1}{3} \overrightarrow{OC}=\frac{R}{3}$ , do đó quỹ tích điểm $G$ là đường tròn tâm $O_{1}$, bán kính $R_{1}=\frac{R}{3}$, trong đó $R$ là bán kính của $(O)$. 
b) Ta có : $\overrightarrow{OH}=3 \overrightarrow{OG}$.
Do đó, $H$ là ảnh của $G$ qua phép vị tự $V(O,3)$ tâm $O$, tỉ số $k=3$. Vậy quỹ tích của $H$ là đường tròn $(O',R)$, trong đó $O'$ được xác định bởi $\overrightarrow{OO'}=3 \overrightarrow{OO_{1}}   (1)  $
Hệ thức $(1)$ cũng chứng tỏ rằng $O'$ đối xứng với $O$ qua $C_{0}$ và qua cả $(AB)$. Từ đó ta đi đến kết luận: Quỹ tích trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ là đường tròn $(O',R)$ đối xứng qua cạnh $AB$ của đường tròn $(O,R)$ ngoại tiếp $\Delta ABC$.     

Điều kiện xác định của phương trình là $x \neq 0;  x \neq 1$.
Thực hiện các phép biến đổi và rút gọn, ta được phương trình:
Xét $m\ne4$. PT $(*) \Leftrightarrow x = \frac{m-1}{m-4}$. Để giá trị này là nghiệm ta cần có
$\begin{cases}\frac{m-1}{m-4} \ne 0 \\ \frac{m-1}{m-4} \ne 1 \end{cases} \Leftrightarrow m \ne 1.$

Xét $m=4$. PT $(*) \Leftrightarrow 0.x=3$. PT này vô nghiệm nên PT $(*)$ cũng vô nghiệm.

Xét $m=1$. PT $(*) \Leftrightarrow -3x=0$. PT này có nghiệm $x=0.$ Đây là điều không thể xảy ra vì điều kiện ban đầu $x \ne 0$.

Vậy:
Với $m \ne 4$ và $m \ne 1$. PT đã cho có nghiệm duy nhất $x = \frac{m-1}{m-4}$.
 Với $m=4$ hoặc $m=1$. PT đã cho vô nghiệm.

Điều kiện xác định của phương trình là:   $x\neq 2$.
Thực hiện các phép biến đổi và rút gọn, ta được phương trình:
 b) - Với $m=5$. Phương trình (*) trở thành: $0.x=-15    \Leftrightarrow $ vô nghiệm   $\Rightarrow $  Phương trình vô nghiệm.
     - Với $m=-\frac{5}{2} $ cho ta nghiệm $x=2$, đây là điều vô lý.
Kết luận :  - Với $m \neq 5$ và $m \neq -\frac{5}{2} $
                   - Với $m = 5$ hoặc $m=-\frac{5}{2}$
                     Phương trình vô nghiệm:                      S = $\emptyset $.

Điều kiện xác định của phương trình là:   $x\neq 2$.
Thực hiện các phép biến đổi và rút gọn, ta được phương trình:
 b) - Với $m=5$. Phương trình (*) trở thành: $0.x=-15    \Leftrightarrow $ vô nghiệm   $\Rightarrow $  Phương trình vô nghiệm.
     - Với $m=-\frac{5}{2} $ cho ta nghiệm $x=2$, đây là điều vô lý.
Kết luận :  - Với $m \neq 5$ và $m \neq -\frac{5}{2} $
                   - Với $m = 5$ hoặc $m=-\frac{5}{2}$
                     Phương trình vô nghiệm:                      S = $\emptyset $.

Ta có:                     $x^2=y^2+2y+3      \Leftrightarrow            x^2-(y^2+2y+1)=2$
               $\Leftrightarrow        x^2-(y+1)^2=2       \Leftrightarrow        (x+y+1)(x-y-1)=2$
Khi $x,y$  nguyên thì  $x+y+1$  nguyên và  $x-y-1$  nguyên;  do vậy  $x+y+1$  và  $x-y-1$  phải nhận các giá trị là ước của  $2$.  Ta có tất cả $4$  hệ:
$\begin{cases}x+y+1=1 \\x- y-1= 2\end{cases}    ;   \begin{cases}x+y+1=2 \\ x-y-1=1 \end{cases}   ;  \begin{cases}x+y+1=-1 \\ x-y-1=-2 \end{cases}    ;   \begin{cases}x+y+1=-2 \\ x-y-1=-1 \end{cases}   $
Giải bốn hệ này kết hợp điều kiện $x, y$ là các số nguyên ta được kết quả, PT đã cho vô nghiệm.

a) Điều kiện   $a \neq 1;  x \neq -3$
    Quy đồng mẫu và rút gọn , ta đưa về dạng:   $(4a-9)x=31-2a$                             (*)
    - $a \neq \frac{9}{4}     \Rightarrow $  phương trình (*)  có nghiệm   $x=\frac{31-2a}{4a-9} $
    Để xét xem giá trị này có phải là nghiệm của phương trình đã cho hay không, ta xét thêm điều kiện 
    $x \neq -3$
            $\frac{31-2a}{4a-9}  \neq -3       \Rightarrow    a \neq -\frac{2}{5}.  $
    - $a=\frac{9}{4} $,  phương trình (*)  có dạng   $0.x=\frac{53}{2}     \Rightarrow  $ Vô nghiệm. 

Kết quả:    + $a \neq 1;  a \neq \frac{9}{4} $  và  $a \neq -\frac{2}{5} $
                      Phương trình có nghiệm  $x=\frac{31-2a}{4a-9} $
                    + $a=1$  hoặc  $a=\frac{9}{4} $  hoặc $a=-\frac{2}{5} $.  Phương trình vô nghiệm.

b) Làm tương tự như câu a), rút gọn và đưa về PT bậc nhất ta được :
Đáp số:      $a \neq \pm b            \Rightarrow    x=0$
                    $a=\pm b         \Rightarrow $   Phương trình vô nghiệm.