tứ diện, thiết diện

Question

Cắt tứ diện $ABCD$ bằng một mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau đây:
a)$(P)$ song song với $BD$, đi qua $M, N$ là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh $AB$ và $BC$.
b) $(P)$ qua $M$ nằm trên cạnh $AB$ và song song với hai đường thẳng $BD, AC$.
c) $(P)$ song song với $BD$ và $AC$, ngoài ra (P) đi qua $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{BD}. $
Xác định tính chất của thiết diện nhận được trong từng trường hợp nói trên.

score 6 · Answer 1

a)

Thiết diện là hình thang $MFEN$, có $MF// NE//BD$.
b)

Thiết diện là hình bình hành.
c) Thiết diện là hình thoi. Thật vậy, theo câu b), thiết diện $MFEN$ là hình bình hành. Hơn nữa, ta có:
$\frac{MF}{BD}=\frac{AM}{AB} \Rightarrow MF=\frac{BD.AM}{AB} (1)$
$\frac{MN}{AC}=\frac{MB}{AB}\Rightarrow MN=\frac{AC.MB}{AB} (2)$
Theo đề bài ta lại có $\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{BD} \Leftrightarrow BD.AM=AC.MB.$ Kết hợp điều này với hai đẳng thức $(1)$ và $(2)$, ta được $MF=MN$
Vậy trong trường hợp này , thiết diện $MNEF$ là hình thoi.