Cực trị hàm số

Question

Cho hàm số

$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}(\sin a + \cos a){x^2} + \frac{3\sin 2a}{4}x$ . Tìm a để hàm số đạt cực trị tại

$x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện

$x_1 + x_2 = x_1^2 + x_2^2$

score 1 · Answer 1

Ta có:

$f'(x) = {x^2} - (\sin a + c{\rm{os}}a)x + \frac{{3\sin 2a}}{4}$
Hàm số có CĐ, CT

$\Leftrightarrow f'(x) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow (sina+cosa)^2-3 sin2a>0\Leftrightarrow 1>2sin 2a\geq -2$
Với điều kiện trên thì f’(x) có 2 nghiệm phân biệt

${x_1},{x_2}$ , và hàm đạt cực trị tại

${x_1},{x_2}$ .
Theo viet ta có:

${x_1} + {x_2} = \sin a + \cos a ; {x_1}.{x_2} = \frac{{3{\rm{sin}}2a}}{4}$
Điều kiện

${x_1} + {x_2} = x_1^2 + x_2^2$

$\Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2}$

$\Leftrightarrow \sin a + \cos a = {\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} - \frac{{{\rm{3sin}}2a}}{2}(2)$
Đặt

$t = \sin a + \cos a = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {\frac{\pi }{4} - a} \right)$

$\Rightarrow \sin 2a = {t^2} - 1$ , do đk nên

${t^2} - 1 < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left| t \right| \le \sqrt {\frac{3}{2}}$
Khi đó (2) trở thành:

$t = {t^2} - \frac{3}{2}({t^2} - 1) \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - 3 \end{array} \right.$
So sánh điều kiện suy ra chỉ có t = 1 thỏa mãn, nên

$c{\rm{os}}\left( {\frac{\pi }{4} - a} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a = k2\pi \\ a = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,(k \in Z)$