Tìm max, min của hàm lượng giác.

Question

Tìm GTNN và GTLN của hàm số:

$y=\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}$

P/s: không dùng đạo hàm.

Học Tại Nhà · Answer 1 · 10/8/2012 4:31:01 PM

Bài toán này áp dụng BĐT sau:

-Nếu

$0\leq a\leq 1$ thì

$a^2\leq \sqrt{a}$ dấu bằng xảy ra khi

$a=0$ hoặc

$a=1$ (*)

-Với mọi

$a,b$ ta có BDT sau :

$(a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)$ dấu bằng xảy ra khi

$a=b$ (**)

Áp dụng BĐT (*) ta có

$\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x} \geq \sin^{2}x+\cos^{2}x =1$

$y_{min} =1$ đạt được chẳng hạn

$x=0$

Áp dụng BDT (**)

$(\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x})^2 \leq 2(\sin x+\cos x)$ và

$(\sin x+\cos x)^2 \leq 2(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)=2$

Suy ra

$y^2\leq 2\sqrt{2}$

$y_{max} = \sqrt[4]{8}$ có thể đạt được khi

$x=\frac{\pi}{4}$

Vậy

$y_{min}=1 ,y_{max}=\sqrt[4]{8}$

Sửa 08-10-12 04:31 PM

Học Tại Nhà
15 1

392K 217K

Trả lời 08-10-12 02:22 PM

dat.to.hung.vuong94
1

13K 16K

1 Đáp án