|
|
Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b$ thì giả thiết trở thành:
$\frac{1}{ab}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) =\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\frac{1}{ab}$ hay $a+b=a^2+b^2-ab (1)$
Bài toán trở thành: Tìm GTLN của $P=a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=(a+b)^2$.
Từ $(1)$ dễ thấy $(a+b)\geq 0$ và $2(a+b)=(a-b)^2+a^2+b^2\geq a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}$.
Do đó $a+b\leq 4$ suy ra $P\leq 16$.
Vậy $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}$ đạt GTLN là $16$ khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{2}$.
|