HÌNH

Question

Giải giùm mình bài này: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB.Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax,By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB).Qua M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B),kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax,By theo thứ tự ở C và D.
a/ Chứng minh:CD=AC + BD
b/ Chứng minh : COD=90
c/ Vẽ MH vuông góc với AB.Chứng minh CB đi qua trung điểm của MH
d/Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) sao cho 3AC+BD nhỏ nhất

score 3 · Answer 1

a) Ta có: $CD=CM+DM=AC+BD$.

b) Vì $OC$ và $OD$ là phân giác của $\widehat{AOM}$ và $\widehat{BOM}$ kề bù nên $\widehat{COD}=90^0$.

c) Giả sử $MH$ cắt $BC$ tại $I$. Vì $MH$ và $AC$ cùng vuông góc với $AB$ nên $MH//AC$.
Do đó: $\frac{MI}{AC}=\frac{DM}{CD}=\frac{BH}{AB}=\frac{HI}{AC}$ suy ra $I$ là trung điểm $MH$.

d) Đặt $\widehat{AOM}=2\alpha$ thì $AC=R\tan \alpha$ và $BD=\frac{R}{\tan \alpha}$.
Do đó: $3AC+BD=R\left( 3\tan \alpha +\frac{1}{\tan \alpha}\right)\geq 2R\sqrt{3}$.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $\tan \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$ hay $\alpha=30^0$.
Vậy $3AC+BD$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $\widehat{AOM}=60^0$.