|
|
Ta có
f(1)=f(1.1)=f(1).f(1)
Vì f(1)∈N∗ nên f(1)=1
f(4)=f(2.2)=f(2).f(2)=4
2=f(2)<f(3)<f(4)=4 nên f(3)=3
ta chứng minh f(n)=n,∀n∈N∗
n=1 thì kết quả này đúng
Xét n>4
Giả sử ĐCCM đúng với mọi số nhỏ hơn n
+)Nếu n là hợp số,,
đặt n=h.k với h,k<n
Theo giả thuyết quy nạp thì f(h)=h,f(k)=k
Ta có f(n)=f(h.k)=f(h).f(k)=h.k=n (1)
+) Nếu n là số nguyên tố, do n>4 nên n+1 là số chẵn ,
Đặt n+1=2m, do n>4 nên m<n
Theo gt quy nạp thì
f(m)=m
Ta suy ra f(n+1)=f(2.m)=f(2).f(m)=2.m=n+1
Ta suy ra n−1=f(n−1)<f(n)<f(n+1)=n+1
Vì vậy f(n)=n (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra ĐCCM
|