|
|
Ta có $\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}\geq \frac{1}{x+y}$ (Điều này tương tương với $(x-y)^2\geq0$) (*)
a/
Áp dụng (*) với $x=a^2+b^2,y=2ab $ ta có:
$\frac{1}{4a^{2} + 4b^{2}} + \frac{1}{8ab}\geq \frac{1}{a^2 + b^{2}+2ab} = \frac{1}{(a + b)^{2}}$ $\forall a, b > 0$
b/
Theo (*) thì
$\frac{1}{4b}+\frac{1}{4b}\geq \frac{1}{a+b}$
$\frac{1}{4b}+\frac{1}{4c}\geq \frac{1}{b+c}$
$\frac{1}{4c}+\frac{1}{4a}\geq \frac{1}{c+a}$
cộng theo vế ta được
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\geq \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$ (1)
Ta lại áp dụng (*)
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\geq \frac{4}{2a + b + c}$
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{2b + a + c}$
$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{4}{2c + b + a}$
cộng theo vế suy ra
$\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\geqslant \frac{4}{2a + b + c}
+ \frac{4}{2b + c + a} + \frac{4}{2c + a +b}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant \frac{4}{2a + b + c}
+ \frac{4}{2b + c + a} + \frac{4}{2c + a +b}$ $\forall a, b, c$ > 0
|