giúp minh bài dãy số này với hjhj tks moi người

Question

Cho dãy số

$a_{n}$ xác định bởi

$a_{1}=\frac{1}{2}$ và

$a_{n}=\frac{a^{2}_{n}}{a^{2}_{n} - a_{n} + 1}$ ,

$n=1,2,...$
a) Chứng minh dãy số

$(a_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Đặt

$b_{n}= a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ với mỗi số nguyên dương

$n$ . Tìm phần nguyên

$\left[ {b_{n}} \right]$ và giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty }b_{n}$

score 1 · Answer 1

$b)$ Bằng quy nạp ta sẽ chứng minh

$b_n=a_1+a_2+...+a_n=1-\frac{a_{n+1}}{1-a_{n+1}}$

Với

$n=1$ :

$a_1=\frac{1}{2}=1-\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$

Với

$n=2$ :

$a_1+a_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=1-\frac{\frac{1}{7}}{1-\frac{1}{7}}$

Giả sử bài toán đúng đến

$n$ , khi đó

$b_{n+1}=b_n+a_{n+1}=1-\frac{a_{n+1}}{1-a_{n+1}}+a_{n+1}=1-\frac{a_{n+1}^2}{1-a_{n+1}}$

$=1-\frac{a_{n+2}}{1-a_{n+2}}$

Cũng đúng với

$n+1$

Do đó

$b_n=1-\frac{a_{n+1}}{1-a_{n+1}}$ với

$\forall n$

Từ đây suy ra

$\left[ b_n{} \right]=0$

Hơn nữa , do

$\mathop {\lim a_n }\limits_{n \to \infty }=0\Rightarrow \mathop {\lim b_n }\limits_{n \to \infty }=1$

score 2 · Answer 2

b.

Ta có:

$1-a_{n+1}=1-\dfrac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1}$

$\Leftrightarrow 1-a_{n+1}=\dfrac{1-a_n}{a_n^2-a_n+1}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{1-a_{n+1}}=\dfrac{a_n^2-a_n+1}{1-a_n}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{1-a_{n+1}}=-a_n+\dfrac{1}{1-a_n}$

$\Leftrightarrow a_n=\dfrac{1}{1-a_n}-\dfrac{1}{1-a_{n+1}}$

Từ đó dẫn tới:

$b_n=\sum_{k=1}^na_k$

$=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{1-a_k}-\dfrac{1}{1-a_{k+1}}\right)$

$=\dfrac{1}{1-a_1}-\dfrac{1}{1-a_{n+1}}$

$=2-\dfrac{1}{1-a_{n+1}}$

Mà

$0<a_{n+1}<a_1=\dfrac{1}{2}$ nên

$0<b_n<1 \Rightarrow \lfloor b_n\rfloor=0$ .

Và

$\lim b_n=2-\dfrac{1}{1-\lim a_{n+1}}=1$

score 1 · Answer 3

$a)$ Do

$(a_{n}^2-a_n+1)-a_n=(a_n-1)^2\geq 0\Rightarrow a_n^2-a_n+1\geq a_n$

$\Rightarrow 0\leq a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1}\leq a_n$

Như vậy

${{a_n}}$ là dãy không tăng , bị chặn trên bởi

$\frac{1}{2}$ và bị chặn dưới bởi

$0$ nên tồn tại

$\mathop {\lim a_n}\limits_{n \to \infty }=g$

Chuyển qua giới hạn ta có

$g=\frac{g^2}{g^2-g+1}\Rightarrow g(g-1)^2=0$

Do

$g\leq \frac{1}{2}$ nên

$g=0$

score 2 · Answer 4

a.

Dễ thấy:

$a_n>0, \forall n$ .

Ta có:

$a_{n+1}-a_n=\dfrac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1}-a_n$

$=\dfrac{-a_n+2a_n^2-a_n^3}{a_n^2-a_n+1}$

$=\dfrac{-a_n(1-a_n)^2}{a_n^2-a_n+1}<0$

Suy ra

$(a_n)$ là một dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0.

Nên

$\exists L$ sao cho

$\lim a_n=L$ .

Từ giả thiết, chuyển qua giới hạn ta có:

$L=\dfrac{L^2}{L^2-L+1}$

$\Leftrightarrow L^3-L^2+L=L^2$

$\Leftrightarrow L(L-1)^2=0 \Leftrightarrow L=0$ , vì

$L\le a_1=\dfrac{1}{2}$ .

Vậy

$\lim a_n=0$

Hỏi	24-05-13 02:36 PM
Lượt xem	2908
Hoạt động	24-05-13 03:27 PM

giúp minh bài dãy số này với hjhj tks moi người

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

giúp minh bài dãy số này với hjhj tks moi người

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan