Sử dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức.

Question

Chứng minh rằng với $\forall x\in\mathbb{R}, $ ta luôn có: $$1-\dfrac{x^2}{2}\leq \cos x$$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 7/21/2013 11:23:15 PM

Xét hàm $f(x) = \cos x + \dfrac{x^2}{2} - 1 , \ \forall x \ge 0$.
$f'(x) = x - \sin x $
$f''(x) = 1 - \cos x \ge 0 \forall x \ge 0$
Suy ra hàm $f'(x)$ đồng biến hay $f'(x) \ge f'(0)=0 \quad \forall x \ge 0$
Vậy hàm $f(x)$ đồng biến hay $f(x) \ge f(0)=0 \quad\forall x \ge 0$
$\Rightarrow \cos x+\dfrac{x^2}{2}-1\geq 0$
$\Leftrightarrow \cos x \ge 1 - \dfrac{x^2}{2}$

Trả lời 21-07-13 11:23 PM

Trần Nhật Tân
31

856K 2M

Trong lời giải trên ta chú ý rằng khi thay $x$ bời $-x$ thì BĐT không thay đổi nên ta chỉ cần làm việc với $x \ge 0.$ – Trần Nhật Tân 21-07-13 11:24 PM