Thứ nhất là bài bạn nhầm đề nhé. $y = x^3 -3x^2 +1$
Thứ hai. Giải như sau
Giả sử $A(a; {a}^{3} -{3a}^{2}+1)$ và $B(b; {b}^{3}-{3b}^{2}+1),\ (a \ne b)$
Tiếp tuyến song song thì hệ số góc bằng nhau, mà $y'(a), \ y'(b)$ chính là hệ số góc của đường thẳng tiếp tuyến
Ta có $y' = 3x^2 - 6x \Rightarrow y'(a) = 3a^2 - 6a, \ \ y'(b) = 3b^2 - 6b$
$y'(a) = y'(b) \Rightarrow 3a^2 - 6a = 3b^2 - 6b$
$\Leftrightarrow 3(a^2 - b^2) - 6(a - b) = 0$
$\Leftrightarrow a+b -2 = 0 \Leftrightarrow b= 2-a \Rightarrow a\neq 1 $(vì $a\neq b)$
$AB = 4\sqrt 2 \Leftrightarrow AB^2 = 32 \Leftrightarrow (b - a)^2 + (b^3 - 3b^2 - a^3 + 3a^2 )^2 = 32$
Cứ nhóm hết lại theo nhân từ chung $b - a$ sau đó thay $b = 2 - a$ là ra hết, không nhầm thì ra
$ \Leftrightarrow 4{(a-1)}^{6}-24{(a-1)}^{4} +40{(a-1)}^{2} = 32$
đặt ẩn phụ mà làm tiếp