BDT thức siêu khó đây( áp dụng bunhia)

Question

Cho

$\left\{ \begin{array}{l} a,b,c>0\\ a+b+c=3 \end{array} \right.$ . CMR:

$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}$

$\leq$

$\frac{1}{3}$

score 3 · Answer 1

Ta có:

$\dfrac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}=\dfrac{1}{a}\dfrac{1}{(2+\dfrac{b^2}{a^2})(2+\dfrac{c^2}{a^2})}$

Áp dụng BĐT Bunhia ta có:

$(2+\dfrac{b^2}{a^2})(2+\dfrac{c^2}{a^2})=(1+1+\dfrac{b^2}{a^2})(1+\dfrac{c^2}{a^2}+1)\ge(1+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a})^2=\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2}$

Suy ra:

$\dfrac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\le\dfrac{a}{(a+b+c)^2}$

$\Rightarrow \dfrac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\dfrac{b^3}{(2b^2+a^2)(2b^2+c^2)}+\dfrac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+a^2)}\le\dfrac{1}{a+b+c}=\dfrac{1}{3}$

Dấu bằng xảy ra khi:

$a=b=c=1$

lenguyenanhthu2991999 · Answer 2 · 1/15/2014 9:48:26 PM

Cần trả +2,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Trả lời 15-01-14 09:48 PM

lenguyenanhthu2991999
146 3

41K 108K