Bài toán này của em sai. Ta sẽ chứng minh:
$\frac{1}{2a+b+c}+ \frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c } \le \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \right )< \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+ \frac{1}{c} $
* Trước hết ta chứng minh với $\forall x,y$ dương luôn có $\frac{1}{x+y} \leq \frac{1}{4x}+\frac{1}{4y} (1)$
Thật vậy: Với mọi $x,y >0 $ ta có $(x-y)^2 \geq 0 \Leftrightarrow (x+y)^2 \geq 4xy$
$\Leftrightarrow \frac{1}{x+y} \leq \frac{x+y}{xy} \Leftrightarrow \frac{1}{x+y} \leq \frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}$ (đpcm)
Theo $(1): \frac{1}{2a+b+c} \leq \frac{1}{8a}+\frac{1}{4(b+c)} \leq \frac{1}{8a}+\frac{1}{16b}+\frac{1}{16c} (2)$
Tương tự $\frac{1}{2b+c+a} \leq \frac{1}{8b}+\frac{1}{16c}+\frac{1}{16a} (3)$
$\frac{1}{2c+a+b} \leq \frac{1}{8c}+\frac{1}{16a}+\frac{1}{16b} (4)$
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức $(2),(3),(4)$ ta có
$\frac{1}{2a+b+c}+ \frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c } \leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$