bất đẳng thức

Question

Cho x,y,z là các số nguyên dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$. Chứng minh rằng
1) $xyz\geq 27$
2)$ xy+yz+xz\geq 27$
3)$x+y+z\geq 9$
4)$xy+yz+xz\geq 2(x+y+z)+9$

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 1 · 2/8/2014 3:03:15 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Câu 4: $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=2(xy+yz+zx)+xyz$

$\Rightarrow 2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-xyz\geq t^2-\frac{t^3}{27} (t=x+y+z\geq 9)$

Ta CM $27t^2-t^3\geq 108t+486$

Xét $f(t)=-t^3+27t^2-108t, t\geq9$

$f'(t)=-3t^2+54t-108=0\Rightarrow t=9\pm 3\sqrt{5}$

Từ BBT $f(t)\geq f(9)=486$ (đpcm)

Trả lời 08-02-14 03:03 PM

♂Vitamin_Tờ♫
61 1

306K 525K

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 2/7/2014 12:03:45 PM

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

1. Áp dụng BĐT AM-GM

$xyz =x^2+y^2+z^2 \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Rightarrow (xyz)^3 \ge 27(xyz)^2\Rightarrow xyz \ge 27.$

Trả lời 07-02-14 12:03 PM

Trần Nhật Tân
31

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. – Trần Nhật Tân 07-02-14 12:03 PM

ẩn ngư · Answer 3 · 2/8/2014 8:12:12 AM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

câu 2:
ta có \begin{cases}xy=\frac{xyz}{z} \\ yz=\frac{xyz}{x} \\xz=\frac{xyz}{y} \end{cases}
vậy vế trái =$xyz(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
áp dụng BĐT bunhiacopsky
$VT\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}$
cô si cho $\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}$ ta có
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq 3\sqrt[6]{xyz}$
bình phương lên,vậy ta có $VT\geq 9\sqrt[3]{xyz}$
mà ở trên đã có $xyz\geq 27$,thay số vào ta có đpcm

Trả lời 08-02-14 08:12 AM

ẩn ngư
887 1 8

196K 79K

1