$P=\left ( \frac{a^2}{b}+\frac{a^2}{c} \right )+\left ( \frac{b^2}{a}+\frac{b^2}{c} \right )+\left ( \frac{c^2}{b}+\frac{c^2}{a} \right )$
$P=\left ( \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}\right ) + \left ( \frac{a^2}{c} +\frac{c^2}{b}+\frac{b^2}{a} \right )$
Ta sẽ chứng minh
$\begin{cases}\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \ge a+b+c \\ \frac{a^2}{c} +\frac{c^2}{b}+\frac{b^2}{a} \ge a+b+c\end{cases}$.
Hai BĐT này đều sử dụng 1 phương pháp đó là BĐT Cauchy-Schwatz. Ví dụ
$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \ge \frac{(a+b+c)^2}{b+c+a} =a+b+c$$
BĐT còn lại chứng minh tương tự. Suy ra $P \ge 2(a+b+c)=2.$
Vậy $\min P=2 \Leftrightarrow a=b=c=1/3.$