Đặt $z=a+bi,a,b \in \mathbb R.$
$\left(z+3-i\right)\left(\overline{z}+1+3i\right)=\left(a+bi+3-i\right)\left(a-bi+1+3i\right)=\left(a+3+i(b-1)\right)\left(a+1+(3-b)i\right)$
$=(a+3)(a+1)+i\left[ {(b-1)(a+1)+(3-b)(a+3)} \right]-(3-b)(b-1).$
Do đó $\left(z+3-i\right)\left(\overline{z}+1+3i\right)$ là số thực
$\Leftrightarrow (b-1)(a+1)+(3-b)(a+3)=0\Leftrightarrow a-b+4=0.$
Tập hợp là đường thẳng $x-y+4=0.$