Chứng minh bất đẳng thức

Question

Cho

$a\geq0$ ,

$b\geq0$ ,

$c\geq0$ thỏa a + b + c = 1
CMR: a) b + c

$\geq$ 16abc
b) (1 - a)(1 - b)(1 - c)

$\geq$ 8abc
c)

$(1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{1}{b})(1 + \frac{1}{c}) \geq 64$

score 2 · Answer 1

Câu a nhé

$b+c \geq 2\sqrt{bc}$ (*)

$a+b+c \geq 2\sqrt{a(b+c)}$

$(a+b+c)^2 \geq 4a(b+c) \geq 8a\sqrt{bc}$ (**)

Nhân (*) với (**) ta được

$(a+b+c)^2(b+c) \geq 16abc$

mà $a+b+c =1$ nên $b+c \geq 16abc$ điều phải chứng minh

$b+c \geq 16abc$

dấu bằng khi $b=c =0$ hoặc

$b=c =a/2 = 1/4$

langvohue1234 · Answer 2 · 7/4/2014 10:44:39 AM

b)

$a+b+c=1 \rightarrow 1-a=b+c; 1-b=c+a; 1-c=a+b$

$(1-a)(1-b)(1-c)=(a+b)(b+c)(c+a) \geq 2\sqrt{ab}2\sqrt{bc}2\sqrt{ca}=8abc$ (dpcm)

c) Có

$1+\frac{1}{a}=1+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a} \geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{3a}^3}$

cmtt:

$1+\frac{1}{b}\geq4\sqrt[4]{\frac{1}{3b}^3}$

$1+\frac{1}{c} \geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{3c}^3}$

$\rightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c}) \geq 64\sqrt[4]{\frac{1}{27abc}^3} \geq 64\sqrt[4]{(a+b+c)^9}$ (đpcm)

Sửa 04-07-14 10:44 AM

langvohue1234
201 7

8K 43K

Trả lời 30-06-14 09:45 PM

Dark
13 2

499M 49K

2 Đáp án