Bài toán áp dụng bất đẳng thức của 2 số nghịch đảo

Question

Cho biểu thức:

$P=(x^{2} + \frac{1}{y^{2}})(y^{2}+ \frac{1}{x^{2}})$

Với

$x, y \in R^{+}, x + y = 1$ . Tìm

$P\min$

Nếu a và b là 2 số lớn hơn hoặc bằng 0 thì a/b b/a lớn hơn hoặc bằng 2
Mình chưa rõ lắm về BĐT 2 số nghịch đảo ?????

score 0 · Answer 1

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$xy\le\dfrac{(x+y)^2}{4}=\dfrac{1}{4}$ .

Ta có:

$P=x^2y^2+\dfrac{1}{x^2y^2}+2$

$=256x^2y^2+\dfrac{1}{x^2y^2}-255x^2y^2+2$

$\ge2\sqrt{256x^2y^2.\dfrac{1}{x^2y^2}}-255.\dfrac{1}{16}+2$

$=\dfrac{289}{16}$

Dấu bằng xảy ra khi:

$x=y=\dfrac{1}{2}$

Đức Vỹ · Answer 2 · 7/2/2014 8:50:55 AM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Có

$x+y=1 \Rightarrow xy\leq\frac{1}{4}$

Có

$x^2 + \frac{1}{y^2}$

$=x^2 + \frac{1}{16y^2}+\frac{1}{16y^2}+...+\frac{1}{16y^2}(16 số \frac{1}{16y^2})\geq 17\sqrt[17]{\frac{x2}{(16y^2)^{16}}}$

Cmtt:

$y^2 + \frac{1}{x^2} \geq 17\sqrt[17]{\frac{y^2}{(16x^2)^{16}}}$

$\Rightarrow P \geq 17\sqrt[17]{\frac{x^2}{(16y^2)16}}*17\sqrt[17]{\frac{y^2}{(16x^2)16}}=17^2 *\sqrt[17]{\frac{1}{1617 *(16x^2y^2)15}}\geq 17^2 *\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$

dấu = có khi

$x=y=\frac{1}{2}$

lịch sử

Sửa 02-07-14 08:50 AM

Đức Vỹ
142 1 1 10

137K 747K

Trả lời 01-07-14 10:00 PM

Dark
13 2

499M 49K

Hỏi	01-07-14 09:25 PM
Lượt xem	1929
Hoạt động	04-07-14 09:32 AM

Bài toán áp dụng bất đẳng thức của 2 số nghịch đảo

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bài toán áp dụng bất đẳng thức của 2 số nghịch đảo

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan