Cho $A(1;5), B(-1;1), C(6;0)$ a, Chứng minh $A, B, C$ không thẳng hàng.Tìm tọa độ chân đường cao vẽ từ $A$ và trực tâm của $\Delta ABC$ b, Tìm trọng tâm $G$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.

Question

Cho $A(1;5), B(-1;1), C(6;0)$

a, Chứng minh $A, B, C$ không thẳng hàng.Tìm tọa độ chân đường cao vẽ từ $A$ và trực tâm của $\Delta ABC$

b, Tìm trọng tâm $G$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.

score 2 · Answer 1

b) Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ thỏa mãn hệ:

$\begin{cases}x_{G}=\dfrac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}=\dfrac{1-1+6}{3}=2 \\ y_{G}=\dfrac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}=\dfrac{5+1+0}{3}=2\end{cases}$

Vậy $G(2;2)$

Dễ thấy tam giác $ABC$ có $AB=2\sqrt{5}$; $AC=BC=5\sqrt{2}$. Do đó tam giác $ABC$ cân tại $C$ suy ra đường cao kẻ từ $C$ là đường trung trực của $AB$.

Đường trung trực của $BC$ đi qua trung điểm $I$ của $BC$ và nhận $\overrightarrow{BC}$ làm vtpt nên có phương trình $7x-y-17=0$

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là giao hai đường trung trực nên tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là nghiệm của hệ $\begin{cases}x+2y-3=0 \\7x-y-17=0\end{cases}$. Giải hệ ta được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $O(\dfrac{37}{15};\dfrac{4}{15})$

score 2 · Answer 2

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-2;-4)$ và $\overrightarrow{AC}=(5;-5)$. Do đó $\dfrac{-2}{5}\neq \dfrac{-4}{-5}$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. Vậy $A,B,C$ không thẳng hàng.

Đường thẳng $BC$ nhận $\overrightarrow{BC}=(7;-1)$ làm vtcp. Do đó nó có vtpt là $\overrightarrow{n_{BC}}=(1;7)$. Suy ra phương trình $BC$ là $x+7y-6=0$.

Đường cao kẻ từ $A$ vuông góc với $BC$ nên nhận $\overrightarrow{BC}=(7;-1)$ làm vtpt. Suy ra phương trình đường cao là $7x-y-2=0$

Chân đường cao kẻ từ $A$ là giao điểm của đường cao và $BC$ nên tọa độ điểm này là nghiệm hệ $\begin{cases}x+7y-6=0 \\ 7x-y-2=0\end{cases}$ Giải hệ ta được chân đường cao là $K(\dfrac{2}{5};\dfrac{4}{5})$

Đường cao tam giác kẻ từ $C$ vuông góc với $AB$ nên nhận $\overrightarrow{AB}=(-2;-4)$ làm vtpt. Suy ra phương trình đường cao là $x+2y-3=0$

Trực tâm $H$ là giao hai đường cao nên tọa độ $H$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}7x-y-2=0 \\ x+2y-3=0\end{cases}$. Giải hệ ta được $H(\dfrac{7}{15};\dfrac{19}{15})$