giup em voi nhanh len a

Question

cho x,y,z là những số thực dương thỏa mãn

$\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+ \sqrt{zx}=1$

tìm min của

$P= \sqrt{2x^2+3xy+4y^2}+ \sqrt{2y^2+3yz+4z^2}+ \sqrt{2z^2+3zx+4x^2}$

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ · Answer 1 · 1/16/2015 10:44:58 PM

Bình chọn tăng 11 Bình chọn giảm

ta có

$2x^2+3xy+4y^2=2((x+\frac34y)^2+(\frac{\sqrt{23}y}4)^2)$

tương tự, ta được

$P=\sqrt2(\sqrt{(x+\frac34y)^2+(\frac{\sqrt{23}y}4)^2}+\sqrt{(y+\frac34z)^2+(\frac{\sqrt{23}z}4)^2}+\sqrt{(z+\frac34x)^2+(\frac{\sqrt{23}x}4)^2})$

Áp dụng BĐT Mincopxki

=>

$P\geq \sqrt2(\sqrt{(\frac74(x+y+z))^2+(\frac{\sqrt{23}}4(x+y+z))^2}$

=>

$P\geq\sqrt2.\sqrt\frac{72}{16}.(x+y+z)=3(x+y+z)$

mà

$x+y+z\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$

=>

$P\geq3$ Dấu = xảy ra tại

$x=y=z=\frac13$

lịch sử

Sửa 16-01-15 10:44 PM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
41 4

10M 1M

Trả lời 16-01-15 10:35 PM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
41 4

10M 1M

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ · Answer 2 · 1/16/2015 10:13:10 PM

Bình chọn tăng 11 Bình chọn giảm

Cách 1:

$\sqrt{2x^2+3xy+4y^2}$

$=\frac{6\sqrt{2x^2+3xy+4y^2}}{6}$

$=\frac{\sqrt{72x^2+108xy+144y^2}}6$

$=\frac{\sqrt{49x^2+154xy+121y^2+23x^2-46xy+23y^2}}{6}$

$=\frac{\sqrt{(7x+11y)^2+23(x-y)^2}}{6}$

$\geq \frac{\sqrt{(7x+11y)^2}}{6}$

$\sqrt{2x^2+3xy+4y^2}\geq \frac{7x+11y}{6}$

tương tự ta có

$\sqrt{2y^2+3yz+4z^2}\geq \frac{7y+11z}{6}$

$\sqrt{2z^2+3zx+4x^2}\geq \frac{7z+11x}{6}$

Cộng lại

$=> P\geq 3(x+y+z)$

Áp dụng BĐT quen thuộc

$a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc$ với

$a^2=x;b^2=y;c^2=z$

=>

$P\geq3(\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{xy})=3$

Dấu = xảy ra tại

$x=y=z=\frac13$

Vậy

$Pmin=3$ tại

$x=y=z=\frac13$

Trả lời 16-01-15 10:13 PM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
41 4

10M 1M

r đócả 2 cách – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 20-01-15 08:10 PM

Hỏi	16-01-15 07:39 PM
Lượt xem	1870
Hoạt động	17-01-15 09:51 PM

giup em voi nhanh len a

Câu hỏi này được treo giải thưởng trị giá +5000 vỏ sò bởi phamcuong2122001@yahoo.com.vn, đã hết hạn vào lúc 17-01-15 07:39 PM

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

giup em voi nhanh len a

Câu hỏi này được treo giải thưởng trị giá +5000 vỏ sò bởi phamcuong2122001@yahoo.com.vn, đã hết hạn vào lúc 17-01-15 07:39 PM

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan