Có $\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$Tương tự ta có:
$VT\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{x+y}{1+4xy}+\frac{y+z}{1+4yz}+\frac{x+z}{1+4xz})$
Xét $P=\frac{x+y}{1+4xy}+\frac{y+z}{1+4yz}+\frac{x+z}{1+4xz}$
Ta sẽ CM $P\geq \frac{3}{2}$ với đk $x+y+z=\frac{3}{2}$
Quy đồng lên:
$64xyz(xy+yz+xz)+8\sum xy(x+y)-24xyz+3\geq 192(xyz)^2+12(xy+yz+xz)$
Đặt $xy+yz+xz=q,r=xyz,x+y+z=p$
Ta viết lại BĐT cần chứng minh dưới dạng:
$64qr+8(pq-3r)-24r+3\geq 192r^2+12q$ (*)(chú ý $p=\frac{3}{2}$)
Ta có $pq\geq 9r$ nên $q\geq6r$
Thu gọn (*) với đk $p$ ta cần chứng minh:
$64qr-48r+3-192r^2\geq0$
Áp dụng BĐT phụ đã nêu trên thay vào thì đpcm tương đương:$(8r-1)^2\geq0$(luôn đúng)
Kết thúc CM dấu bằng đạt đc tại tâm