Bất đẳng thức khó và cực hay

Question

Câu 1: với x, y > 0. CMR:
$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}$$\geq$$\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{xy+1}}$

CÂu 2:
$(a^3+b^3+c^3)(ab+bc+ac)$$\geq$$3abc(a^2+b^2+c^2)$

Câu 3:
$\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}\leq\frac{2}{\sqrt{ab+1}}$
với $a,b \geq0$ và $ab\leq1$

๖ۣۜDevilღ · Answer 1 · 2/3/2015 10:05:34 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Bài 2

Áp Dụng BĐT AM-GM và Cauchy schwarz ta có

ta có $(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq (a^2+b^2+c^2)^2.9abc$$1)$

Áp dụng tiếp BĐT cauchy schwarz

$\left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2.9abc$

$=\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left ( a^2+b^2+c^2 \right ).9abc\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}.(a^2+b^2+c^2).9abc$

$=(a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2).3abc$$(2)$

từ (1) và (2)

$\Rightarrow (a^3+b^3+c^3)(a+b+c)^2(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2).3abc$

rút gọn $(a+b+c)^2 \Rightarrow ĐPCM$

dấu đẳng thức xẩy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Trả lời 03-02-15 10:05 PM

๖ۣۜDevilღ
33 3

10M 539K

WhjteShadow · Answer 2 · 2/3/2015 5:36:24 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

2:Chứng minh $3(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$(dùng BĐT Chebushev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều)

Từ đó dễ dàng có đpcm

Trả lời 03-02-15 05:36 PM

WhjteShadow
1

134K 97K

Thanh dương · Answer 3 · 2/3/2015 1:56:30 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

CÂu 2:chắc thiếu a,b,c ko âm.Vd a âm,b âm,c =0 ko thỏa mãn BDT nên ta xét với a,b,c ko âm

$(a^3+b^3+c^3)(ab+bc+ac)$$\geq$$3abc(a^2+b^2+c^2)$

.Nếu abc =0 BDT đúng

$abc\neq 0\Rightarrow (a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geqslant 3(a^2+b^2+c^2)$(*)

theo cosi

$2a^3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b^2+c^2=a^2+a^2+\frac{a^3}{b}+\frac{a^3}{b}+\frac{a^3}{c}+\frac{a^3}{c}+b^2+c^2\geqslant 8\sqrt[8]{a^{16}}=8a^2$

tương tự $2b^3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+a^2+c^2\geqslant 8b^2;2c^3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+a^2+b^2\geqslant8c^2 $

cộng theo vế =>(*)

dấu bằng a=b=c

Trả lời 03-02-15 01:56 PM

Thanh dương
-99

60K 17K

1