Em không đăng thì anh cũng sẽ đăng nhỉ :D
BĐT tương đương(a+b)(b+c)(c+a)abc≥24(a2+b2+c2)(a+b+c)2
⇔[(a+b)(b+c)(c+a)abc−8]−8[3(a2+b2+c2)(a+b+c)2−1]≥0(1)
ta có (a+b)(b+c)(c+a)abc−8=a(b−c)2+b(c−a)2+c(a−b)2abc
và 3(a2+b2+c2)(a+b+c)2−1=(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2(a+b+c)2
do đó (1) có thể viết lại
Sa(b−c)2+Sb(c−1)2+Sc(c−a)2≥0
trong đó Sa=1bc−8(a+b+c)2và Sb=1ca−8(a+b+c)2;Sc=1ab−8(a+b+c)2
không mất tính tổng quát giả sử a≥b≥c⇒Sa≥Sb≥Sc
Mặt Khác sử dụng liên tiếp BĐT AM-GM ta có
Sb+Sc=1ab+1ac−16(a+b+c)2≥2a√bc−16(a+b+c)2≥4a(b+c)−16(a+b+c)2≥16[a+(b+c)]2−16(a+b+c)2=0
từ đó ⇒2Sa≥2Sb≥Sb+Sc≥0 để ý rằng (a−c)2≥(a−b)2 ta được
Sa(b−c)2+Sb(a−c)2+Sc(a−b)2≥Sb(a−c)2+Sc(a−b)2≥(Sb+Sc)(a−b)2≥0⇒ĐPCM
dấu đẳng thức xẩy ra ⇔a=b=c hoặc a=2b=2b và các hoán vị tương ứng