Xét hàm số $f(x)=\ln (x^2+18)-\frac{2}{9}x;x\in (0;9)$Có $f'(x)=\frac{2x}{x^2+18}-\frac{2}{9}=\frac{2}{9}\times \frac{9x-x^2-18}{x^2+18}=-\frac{2}{9}\times \frac{(x-6)(x-3)}{x^2+18}$
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=3$ hoặc $x=6$
Lập bảng biến thiên cho $f(x)$ được $Minf(x) = f(3)=\ln 27-\frac{2}{3}$
Từ đó suy ra $f(a)+f(b)+f(c)\geq \ln(27^3)-2$
$\Leftrightarrow (\ln (a^2+18)+\ln (b^2+18)+ \ln(c^2+18)) -\frac{2}{9}(a+b+c)\geq \ln(3^9)-2$
$\Leftrightarrow \ln((a^2+18)(b^2+18)(c^2+18))\geq \ln(3^9)\Rightarrow $ đpcm
Dấu $"="$ có khi $a=b=c=3$