c,ta chứng minh VP$=cosAcosBcosC\leq \frac{1}{8} (1)$
thật vậy
$(1)\Leftrightarrow [cos(A+B)+cos(A-B)]cos(A+B)+\frac{1}{4}\geq 0$
$\Leftrightarrow cos^{2}(A+B)+cos(A+B)cos(A-B)+\frac{1}{4}cos^{2}(A-B)+\frac{1}{4}[1-cos^{2}(A-B)]\geqslant 0$
$\Leftrightarrow [cos(A+B)+cos(A-B)]^{2}+\frac{1}{4}sin^{2}(A-B)\geq 0$ (luôn đúng)
dấu bằng xảy ra khi $\begin{cases}sin(A-B)=0 \\ cos(A+B)+cos(A-B)=0 \end{cases}\Leftrightarrow A=B=C$
chứng minh tương tự ta được VT$=sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\geq \frac{1}{8}\geq VP$
từ đó suy ra dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.
b, mình nghĩ là bạn chưa được học bđt jensen nên mình trình bày như sau:
trước hết ta chứng minh
$\frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2} \forall x,y\in (0;\pi ) $
thật vậy,
$ \forall x,y\in (0;\pi )$
ta có
$cos\frac{x-y}{2}\leq 1\Leftrightarrow sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$
bây giờ ta chứng minh $\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$
ta có
$sin\frac{x+y+z}{3}=sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}=sin\frac{\frac{x+y}{2}+\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}}{2}$
$\geq \frac{1}{2}[sin\frac{x+y}{2}+sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}]$
$\geq \frac{1}{2}[\frac{1}{2}(sinx+siny)+\frac{1}{2}(sinz+sin\frac{x+y+z}{3})]=\frac{1}{4}[sinx+siny+sinz+sin\frac{x+y+z}{3}]$
$\Rightarrow \frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$
áp dụng thôi.
ta có VT $=2(sinA+sinB+sinC)=6sin\frac{A+B+C}{3}\leq 6sin\frac{\pi }{3}=3\sqrt{3}$
VP=tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (cái này trên lớp chắc b được cm rồi)
theo cô si có :
$tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt[3]{tanAtanBtanC}=3\sqrt[3]{tanA+ tanB+tanC}$
$\Rightarrow tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt{3}$
dấu bằng khi A=B=C
mà VT=VP nên dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.