năm mới, lì xì, vote mạnh cho linh nha, vote qua lại nè

Question

Tam giác nhọn

A B C

có các góc

A, B, C

thỏa mãn hệ thức:

a)

\frac{1}{\cos A} + \frac{1}{\cos B} + \frac{1}{\cos C} = \frac{1}{\sin \frac{A}{2}} + \frac{1}{\sin \frac{B}{2}} + \frac{1}{\sin \frac{C}{2}}

b)

2 (\sin A + \sin B + \sin C) = \tan A + \tan B + \tan C

c)

\cos A \cos B \cos C = \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}

Chứng minh

A B C

là tam giác đều.

k phải đâu. ông bình chọn hộ tui xóa lời giải mà tui bình chọn xóa cái . -_-. lời giải ý chưa chặt
haizzzzzz... lm thì lm đi ông còn bình luận câu hỏi
bạn này là bạn ý sắp xếp câu hỏi từ khó đến dễ :))

Bùi Cao Thắng · Answer 1 · 2/10/2016 12:20:05 PM

c,ta chứng minh VP $=cosAcosBcosC\leq \frac{1}{8} (1)$

thật vậy

$(1)\Leftrightarrow [cos(A+B)+cos(A-B)]cos(A+B)+\frac{1}{4}\geq 0$

$\Leftrightarrow cos^{2}(A+B)+cos(A+B)cos(A-B)+\frac{1}{4}cos^{2}(A-B)+\frac{1}{4}[1-cos^{2}(A-B)]\geqslant 0$

$\Leftrightarrow [cos(A+B)+cos(A-B)]^{2}+\frac{1}{4}sin^{2}(A-B)\geq 0$ (luôn đúng)

dấu bằng xảy ra khi $\begin{cases}sin(A-B)=0 \\ cos(A+B)+cos(A-B)=0 \end{cases}\Leftrightarrow A=B=C$

chứng minh tương tự ta được VT $=sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\geq \frac{1}{8}\geq VP$

từ đó suy ra dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.

b, mình nghĩ là bạn chưa được học bđt jensen nên mình trình bày như sau:

trước hết ta chứng minh

$\frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2} \forall x,y\in (0;\pi )$

thật vậy,

$\forall x,y\in (0;\pi )$

ta có

$cos\frac{x-y}{2}\leq 1\Leftrightarrow sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$

bây giờ ta chứng minh $\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$

ta có

$sin\frac{x+y+z}{3}=sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}=sin\frac{\frac{x+y}{2}+\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}}{2}$

$\geq \frac{1}{2}[sin\frac{x+y}{2}+sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}]$

$\geq \frac{1}{2}[\frac{1}{2}(sinx+siny)+\frac{1}{2}(sinz+sin\frac{x+y+z}{3})]=\frac{1}{4}[sinx+siny+sinz+sin\frac{x+y+z}{3}]$

$\Rightarrow \frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$

áp dụng thôi.

ta có VT $=2(sinA+sinB+sinC)=6sin\frac{A+B+C}{3}\leq 6sin\frac{\pi }{3}=3\sqrt{3}$

VP=tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (cái này trên lớp chắc b được cm rồi)

theo cô si có :

$tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt[3]{tanAtanBtanC}=3\sqrt[3]{tanA+ tanB+tanC}$

$\Rightarrow tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt{3}$

dấu bằng khi A=B=C

mà VT=VP nên dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.

phần c chỉnh mãi vẫn thế ông nhờ :))cứ bị nhảy :D
:D ông đánh giãn ra cho dễ thấy đánh chùm chùm khó thấy lắm

Bùi Cao Thắng · Answer 2 · 2/10/2016 10:32:27 AM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

câu a kế thừa câu c.

theo c có

$cosAcosBcosC\leq \frac{1}{8}$

và

$sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\geq \frac{1}{8}$

theo AM-GM ta có:

VP

$=\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosB}+\frac{1}{cosC}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{cosAcosBcosC}}\geq 6$

tương tự cho VT ta được

$VT\leq 6$

mà VT=VP nên xảy ra dấu bằng. ta được đpcm

lịch sử

Sửa 10-02-16 10:32 AM

Bùi Cao Thắng
30 3

123K 773K

Trả lời 10-02-16 10:30 AM

Bùi Cao Thắng
30 3

123K 773K

đủ 200 danh vọng nhận – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 10-02-16 10:43 AM

hahahaha. 1 năm chả vào ngày nào :)) – Bùi Cao Thắng 10-02-16 10:40 AM

kỉ niệm tròn 1 năm – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 10-02-16 10:39 AM

danh hiệu j ta :)) – Bùi Cao Thắng 10-02-16 10:37 AM

ông sắp dc 1 cái danh hiệu rùi đó ........ – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 10-02-16 10:32 AM

Hỏi	09-02-16 03:43 PM
Lượt xem	2522
Hoạt động	10-02-16 10:30 AM

năm mới, lì xì, vote mạnh cho linh nha, vote qua lại nè

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

năm mới, lì xì, vote mạnh cho linh nha, vote qua lại nè

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan