Giả sử $a \geq b \geq c \geq 0$ thì ta chứng minh được BĐT sau:
$$\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq\sqrt{\frac{b+c}{a}}$$
Đồng thời cũng có $ab+bc+ac \geq a(b+c)$
Vậy nên $VT \geq \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\frac{9\sqrt{a(b+c)}}{a+b+c}\geq 2\sqrt{(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}).\frac{9\sqrt{a(b+c)}}{a+b+c}}=6$