ta có (a+b−c)(a+c−b)bc=a2−b2−c2+2bcbc=2−2.b2+c2−a22bc=2−2cosA
làm tg tự ta có
(a+b−c)(b+c−a)ac=2−2cosB
(a+c−b)(b+c−a)ab=2−2cosC
nhân lại ta có (a+b−c)2(a+c−b)2(b+c−a)2a2b2c2=8(1−cosA)(1−cosB)(1−cosC)
≤8(3−cosA−cosB−cosC3)3(1)
mà cosA+cosB+cosC=2cos(A+B2)cos(A−B2)−2sin2(C2)+1≤2sin(C2)−2sin2(C2)+1≤32(2)
từ 1 và 2 suy ra đpcm