Đây chính xác là đề thi HSG Hải Phòng năm 2014. Ta chứng minh BĐT sau:
$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$$
Giả sử $b= median${$a,b,c$}
$$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{b} \geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}-2(a+b+c)$$
Áp dụng Cauchy-Schwarz kèm theo giả sử trên ta được đpcm. Kết quả trên còn khá lỏng và tất nhiên ta có thể làm mạnh lên:
$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)-3(ab+bc+ac)}{a+b+c}$$
Đây chưa phải là hằng số tốt nhất nhưng mình nghĩ bạn có thể xử lí được bằng các BĐT cổ điển.