Nhà mình ai biết bài nào chỉ em cái

Question

1. Cho

$f(x)$ và

$g(x)$ là

$2$ đa thức có hệ số nguyên thỏa mãn

$f(x^{3})+xg(x^{3})$ chia hết cho đa thức

$x^{2}+x+1$ . Gọi

$d$ là ước chung lớn nhất của

$f(2015)$ và

$g(2015)$ . CMR :

$d$ chia hết cho

$2014$ .

2. Cho

$a, b$ là

$2$ số thực phân biệt. Giả sử tồn tại đa thức

$P(x)$ và

$Q(x)$ có bậc không quá

$2n-1$ thỏa mãn :

$(x -a )^{2n}.P(x)+(x -b )^{2n}.Q(x)=1$ . CMR :

$Q(x)=P(a+b-x)$ .

3. Cho

$a, b, c$ là các số nguyên khác

$0, a\neq c$ thỏa mãn :

$\frac{a}{c}=\frac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}+c^{2}}$ . CMR :

$a^{2}+b^{2}+c^{2}$ là hợp số.

score 5 · Answer 1

3.

Từ điều kiện suy ra

$b^2(a-c)-ac(a-c)=0$ , hay

$(a-c)(b^2-ac)=0$ . Vì

$a\neq c$ nên

$b^2-ac=0$ , hay

$b^2=ac$ .

Giả sử

$d$ là ước chung lớn nhất của

$a$ và

$c$ .

Trường hợp

$d>1$ .

Khi đó

$a^2+b^2+c^2=a^2+ac+c^2$ chia hết cho

$d$ và

$d^2$ . Suy ra

$a^2+b^2+c^2$ là hợp số.

Trường hợp

$d=1$ . Không mất tính tổnq quát khi coi

$a>c$ .

Vì

$b^2=ac$ nên

$a$ và

$c$ cùng chính phương; suy ra

$a=m^2$ và

$c=n^2$ với

$m,n$ là các số nguyên dương và

$m>n$ . Khi đó

$a^2+b^2+c^2=(m^2+mn+n^2)(m^2-mn+n^2)$ . Vì

$m,n$ nguyên dương nên

$m^2+mn+n^2>m^2-mn+n^2>1$ . Suy ra

$m^2+mn+n^2$ và

$m^2-mn+n^2$ là hai ước khác nhau và cùng lớn hơn

$1$ của

$a^2+b^2+c^2$ . Suy ra

$a^2+b^2+c^2$ là hợp số.

score 5 · Answer 2

2.

Với

$y \in R$ tùy ý.

Lấy

$x=y$ thì được

$(y-a)^{2n}P(y)+(y-b)^{2n}Q(y)=1$ (1).

Lấy

$x=a+b-y$ thì được

$(b-y)^{2n}P(a+b-y)+(a-y)^{2n}Q(a+b-y)=1$ ; suy ra

$(y-b)^{2n}P(a+b-y)+(y-a)^{2n}Q(a+b-y)=1$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra

$(y-b)^{2n}[Q(y)-P(a+b-y)]=(y-a)^{2n}[Q(a+b-y)-P(y)]$ (3).

Vì

$y$ tùy ý nên (3) đúng với mọi

$y$ thuộc

$R$ .

Từ (3) suy ra

$(y-b)^{2n}[Q(y)-P(a+b-y)]$ chia hết cho

$(y-a)^{2n}$ . Vì

$(y-b)^{2n}$ và

$(y-a)^{2n}$ có ước chung lớn nhất bằng

$1$ nên

$Q(y)-P(a+b-y)$ chia hết cho

$(y-a)^{2n}$ . Suy ra

$Q(y)-P(a+b-y)=(y-a)^{2n}R(x)$ . Vì

$Q(y)-P(a+b-y)$ có bậc không quá

$2n-1$ nên

$R(y)=0$ . Suy ra

$Q(y)-P(a+b-y)=0$ , suy ra

$Q(y)=P(a+b-y)$ .

score 5 · Answer 3

1.

Để ý rằng

$f(x^3)-f(1)$ và

$x[g(x^3)-g(1)]$ chia hết cho

$x^3-1$ . Suy ra

$f(x^3)-f(1)$ và

$x[g(x^3)-g(1)]$ chia hết cho

$x^2+x+1$ .

Suy ra

$[f(x^3)+xg(x^3)]-[f(1)+xg(1)]=f(x^3)-f(1)+x[g(x^3)-g(1)]$ chia hết cho

$x^2+x+1$ .

Vì

$f(x^3)+xg(x^3)$ chia hết cho

$x^2+x+1$ nên

$f(1)+xg(1)$ chia hết cho

$x^2+x+1$ . Vì

$f(1)+xg(1)$ có bậc không quá

$1$ nên

$f(1)+xg(1)\equiv 0$ , suy ra

$f(1)=g(1)=0$ .

Lại có:

$f(2015) = f(2014+1)=2014p+f(1)=2014p$ ,

$g(2015)=g(2014)=2014q+g(1)=2014q$ .

Suy ra

$f(2015)$ và

$g(2015)$ chia hết cho

$2014$ . Suy ra

$d$ chia hết cho

$2014$ .

Hỏi	13-04-16 09:59 PM
Lượt xem	3022
Hoạt động	14-04-16 09:33 PM

Nhà mình ai biết bài nào chỉ em cái

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Nhà mình ai biết bài nào chỉ em cái

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan