Sử dụng một vài phép biến đổi và bất đẳng thức AM - GM cùng với C-S thì được$\frac{1}{yz+x+\frac{1}{x}}=\frac{1}{(x+y)(x+z)+\frac{1}{x}}$
$=\frac{1}{4(\frac{(x+y)(x+z)}{4}+\frac{2}{27x})+\frac{19}{27x}}$
$\leq\frac{1}{\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{(x+y)(x+z)}{4x^2}}+\frac{19}{27x}}$
$\leq\frac{1}{12.\frac{1}{9}\sqrt[3]{\frac{(x+y)(x+z)}{4x^2}}+19.\frac{1}{27x}}$
$\leq\frac{1}{31^2}.(\frac{12}{\frac{1}{9}\sqrt[3]{\frac{(x+y)(x+z)}{4x^2}}}+\frac{19}{\frac{1}{27x}})$
$\leq\frac{1}{31^2}.(108\sqrt[3]{\frac{4x^2}{(x+y)(x+z)}}+513x)$
$\leq\frac{1}{31^2}.(36(\frac{2x}{x+y}+\frac{2x}{x+z}+1)+513x)$
$\leq\frac{1}{31^2}.(\frac{72x}{x+y}+\frac{72x}{x+z}+513x+36)$.
Suy ra $\frac{1}{yz+x+\frac{1}{x}}\leq\frac{1}{31^2}.(\frac{72x}{x+y}+\frac{72x}{x+z}+513x+36)$ (1).
Chứng minh tương tự như trên thì được
$\frac{1}{zx+xy+\frac{1}{y}}\leq\frac{1}{31^2}.(\frac{72y}{x+y}+\frac{72y}{y+z}+513y+36)$ (2);
$\frac{1}{xy+z+\frac{1}{z}}\leq\frac{1}{31^2}.(\frac{72z}{x+z}+\frac{72z}{y+z}+513z+36)$ (3).
Cộng (1),(2),(3) theo vế thì được
$\frac{1}{yz+x+\frac{1}{x}}+\frac{1}{zx+xy+\frac{1}{y}}+\frac{1}{xy+z+\frac{1}{z}}\leq \frac{27}{31}$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$.