Từ điều kiện đã cho suy ra$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=a^2b^2c^2+2$;
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)=1+2a^2b^2c^2$;
$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc=-a^3b^3c^3$.
Suy ra
$\sum a(b^2+1)(c^2+1)=abc(ab+bc+ca)+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+1)$
$-(a^3+b^3+c^3)$
$=-4abc$.
Từ đó có $\sum\frac{a}{a^2+1}=\frac{\sum a(b^2+1)(c^2+1)}{a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2+1}$
$=\frac{-abc}{a^2b^2c^2+1}$.
Suy ra $\left| {\sum\frac{a}{a^2+1}} \right|\leq \frac{1}{2}$.