Cộng 3 cho 2 vế$bdt(T)\Leftrightarrow (x+y+z)\left(\frac{1}{x+y}+\frac 1{y+z}+\frac 1{z+x} \right) \ge \frac{135}{28} \quad(1)$
Chuẩn hóa $x+y+z=15$
Khi đó từ gt $\Leftrightarrow 7(x+y+z)^2=25(xy+yz+zx)\Leftrightarrow \begin{cases}xy+yz+zx=63 \\ x^2+y^2+z^2= 99\end{cases}$
$(1)\Leftrightarrow \frac{1}{x+y}+\frac 1{y+z}+\frac 1{z+x} \ge \frac{9}{28}$
$\Leftrightarrow \frac{\sum(y+z)(z+x)}{(x+y)(y+z)(z+x)} \ge \frac{9}{28}$
$\Leftrightarrow \frac{(x^2+y^2+z^2)+3(xy+yz+zx)}{(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz} \ge \frac{9}{28}$
$\Leftrightarrow xyz \ge 49$
Giả sử $z=\max \{x,y,z\}$, khi đó $z \ge 5$
Ta có $xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}=\frac{(15-z)^2-(99-z^2)}{2}=z^2-15z+63$
Ta cần chứng minh $(z^2-15z+63).z \ge 49\Leftrightarrow (z-7)^2(z-1) \ge0$ (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ta $\Leftrightarrow 7x=7y=z$ và các hoán vị
~~~~~~~~~~~
$bdt(P)$ chứng minh tương tự, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=3c$và các hoán vị