Cộng 3 cho 2 vếbdt(T)⇔(x+y+z)(1x+y+1y+z+1z+x)≥13528(1)
Chuẩn hóa x+y+z=15
Khi đó từ gt ⇔7(x+y+z)2=25(xy+yz+zx)⇔{xy+yz+zx=63x2+y2+z2=99
(1)⇔1x+y+1y+z+1z+x≥928
⇔∑(y+z)(z+x)(x+y)(y+z)(z+x)≥928
⇔(x2+y2+z2)+3(xy+yz+zx)(x+y+z)(xy+yz+zx)−xyz≥928
⇔xyz≥49
Giả sử z=max, khi đó z \ge 5
Ta có xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}=\frac{(15-z)^2-(99-z^2)}{2}=z^2-15z+63
Ta cần chứng minh (z^2-15z+63).z \ge 49\Leftrightarrow (z-7)^2(z-1) \ge0 (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ta \Leftrightarrow 7x=7y=z và các hoán vị
~~~~~~~~~~~
bdt(P) chứng minh tương tự, đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow a=b=3cvà các hoán vị