Giả thiết $\Leftrightarrow x^2+\left( \frac{\sqrt 3}{2}y\right)^2+\left( \frac{\sqrt 3}{2}z\right)^2+2.\left( x. \frac{\sqrt 3}{2}y.\frac{\sqrt 3}{2}z\right)=1\quad (\star)$ Đặt $x=a,\frac{\sqrt 3}{2}y=b,\frac{\sqrt 3}{2}z=c$
$(\star)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc=1$
Ta cần chứng minh $a+b+c \le \frac 32$
~~~~~~~~~~~~~~~~~
Trước tiên ta cm $ab+bc+ca\le \frac 12+2abc \quad $
Ta lại có $\frac 12+2abc \le \frac 58+abc$
$\Rightarrow ab+bc+ca \le \frac 58+abc$
$\Leftrightarrow 1-2abc+2(ab+bc+ca) \le \frac 94$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \le \frac 94$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^2 \le \frac 94\Leftrightarrow a+b+c \le \frac 32$ (dpcm)
~~~~~~~~~
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac 12,y=z=\sqrt{\frac 13}$