Do vai trò của a,b,c là như nhau nên giả sử a≥b≥c⩾Từ đk của giả thiết \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<1 phải có a\geq b\geq c\geq 2.Từ đó S=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{2}<1 nên\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\frac{1}{2}
Suy ra a\geq b\geq 3. Do đó S\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}<1 nên \frac{1}{a}<\frac{1}{6}\Rightarrow a\geq 7\Rightarrow S\leq \frac{1}{7}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{41}{42}