Giải pt bằng cách liên hợp, rút 2 nhân tử!

Question

1) $(2x+3)\sqrt{2x+3}-(x+2)\sqrt{x+1}=4x+5$

có bạn nào rút được nhân tử (x+1)(x-3) không? Vì pt có 2 nghiệm x=-1 hoặc x=3.

2)$ x^{2}-x-2+4\sqrt{x+2}-2\sqrt{x^{2}+3}=0$

tương tự như trên có ai rút được nhân tử $(x+1)^{2}$ không? Vì pt có nghiệm kép x=-1

Mình rất có hứng thú với cách rút 2 nhân tử này nhưng lại không biết cách tổng quát để thêm bớt nhân liên hợp (ax+b), mỗi lần làm mình chỉ toàn mò hên xui thôi nên lúc ra lúc không? Bạn nào biết về phương pháp này thì cho mình hỏi nhé!

tran85295 · Answer 1 · 6/21/2016 12:47:49 PM

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

$\sqrt{x+2}-(ax+b)=\frac{(x+2)-(ax+b)^2}{\sqrt{x+2}+ax+b}=\frac{-a^2x^2+x(1-2ab)+(2-b^2)}{\boxed{\sqrt{x+2}+ax+b}}$

Chọn $a,b$ sao cho $-a^2=\frac{1-2ab}{2}=2-b^2\Leftrightarrow a=\frac 12,b=\frac 32;a=-\frac 12,b=-\frac 32$

Trong 2 cặp này có 1 cặp làm cho mẫu (đc đóng khung) =0 nên loại

~~~~~

Còn đây là kết quả :$\sqrt{x+2}-\frac{x+3}{2}=\frac{4(x+2)-(x+3)^2}{4\sqrt{x+2}+2(x+3)}=\frac{-(x+1)^2}{4\sqrt{x+2}+2(x+3)}$

Trả lời 21-06-16 12:47 PM

tran85295
135 9

10M 559K

Xin cảm ơn ạ! – lan_pk1 22-06-16 10:44 PM

Thang Ozil · Answer 2 · 6/19/2016 8:41:34 PM

Bình chọn tăng 9 Bình chọn giảm

Bạn đã tìm được nghiệm x= -1,3 rồi thì

Cần $\sqrt{2x+3}$ - ($ax+b$)=0 (1)

Thay nghiệm x vào (1) giải hpt bậc nhất hai ẩn là ra thôi

Ta có:

$(2x+3)(\sqrt{2x+3}-\frac{x}{2}-\frac{3}{2})$ $-$ $(x+2)(\sqrt{x+1}-\frac{x}{2}-\frac{1}{2})$ $+$ $\frac{x^2}{2}-x-\frac{3}{2}$ $=0$

Liên hợp một cái là ra thôi

Trả lời 19-06-16 08:41 PM

Thang Ozil
6 2

8K 14K

Nếu đó là nghiệm kép thì sao bạn? – lan_pk1 21-06-16 11:12 AM

tran85295 · Answer 3 · 6/19/2016 8:30:16 PM

Bình chọn tăng 12 Bình chọn giảm

1) Làm mẫu biểu thức $(2x+3)\sqrt{2x+3}$

Giả sử như ta thêm bớt lượng liên hợp như sau

$\bigg[(2x+3)\sqrt{2x+3}-(ax+b) \bigg]+(ax+b)$

Ta chỉ quan tâm đến phần ngoặc vuông và nhiệm vụ là phải tìm ra $a,b$

Để có được nhân tử $(x+1)(x-3)$ thì khi thay $x=-1$ hoặc $ x=3$ thì $A=(2x+3)\sqrt{2x+3}-(ax+b)=0\Leftrightarrow (2x+3)\sqrt{2x+3}=ax+b \quad (*)$

Thế $x=-1,x=3$ vào $(*)$ ta thu đc hpt $\begin{cases}-a+b=1 \\ 3a+b=27 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=\frac{13}2 \\ b=\frac{15}2 \end{cases} (ok)$

Tương tự cho $(x+2)\sqrt{x+1}$ ta thu đc $a=b=\frac 52$

Vì vậy ta tách như sau

$pt\Leftrightarrow \bigg[(2x+3)\sqrt{2x+3}-\frac{13x+15}{2} \bigg]-\bigg[(x+2)\sqrt{x+1}-\frac{5x+5}{2} \bigg]=0$

$\Leftrightarrow (x+1)(x-3)\left[\frac{32x+29}{(2x+3)\sqrt{2x+3}+\dfrac{13x+15}{2}}-\frac{4x+3}{(x+2)\sqrt{x+1}+\dfrac{5x+5}{2}}\right]=0$

Phần rút nhân tử xong còn phần sau thì ko biết

Cách khác:

$pt\Leftrightarrow \bigg(\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}-1 \bigg)\bigg(3x+4+\sqrt{(2x+3)(x+1)}+\sqrt{x+1} \bigg)=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x+3}=\sqrt{x+1}+1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1\\ x=3 \end{array} \right.$

Trả lời 19-06-16 08:30 PM

tran85295
135 9

10M 559K