Điều kiện để hàm số xác định là x≠12. Khi đó y′=2x2−2x−5m+1(2x−1)2. Điều kiện để hàm số có hai cực trị là phương trình 2x2−2x−5m+1=0 (∗) có hai nghiệm phân biệt, tức là 1−2.(−5m+1)>0, hay m>110 (∗∗). Khi đó đường thẳng d qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình y=x−3m+12. Suy ra d vuông góc với △ (vì có tích hai hệ số góc bằng −1).
Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của (∗). Khi đó x1+x2=1, đồng thời tọa độ của hai điểm cực trị lần lượt là A(x1;x1−3m+12) và B(x2;x2−3m+12). Suy ra tọa độ trung điểm của AB là I(12;−3m2).
Như vậy, điều kiện để A và B đối xứng với nhau qua △ là I∈△, điều này tương đương với 12−3m2+1=0, hay m=1. Giá trị này thỏa mãn điều kiện (∗∗).
Vậy m=1 là giá trị phải tìm.