giúp e :((

Question

Cho

S =

$\frac{1}{\sqrt{1.1998}} + \frac{1}{\sqrt{2.1997}} +...+\frac{1}{\sqrt{k.(1998-k+1)}} +...+\frac{1}{\sqrt{1998-1}}$

Hãy so sánh S và

$2.\frac{1998}{1999}$

dùng bdt cosi dưới mẫu mỗi phân thức vế trái là ra bạn nhé

score 1 · Answer 1

Với

$0<a<1$ ta luôn có

$\sqrt a>a$ , tức

$\frac{1}{\sqrt a}<\frac{1}{a}$ . Từ đây ta có

$\frac{1}{\sqrt{k.(1998-k+1)}} <\frac{1}{k(1998-k+1}$ với mọi

$k=1,...1998$

Từ đây ta có

$S=\sum_{k=1}^{1998}\frac{1}{\sqrt{k.(1998-k+1)}}<\sum_{k=1}^{1998}\frac{1}{k.(1998-k+1}=\sum_{k=1}^{1998}\frac{1}{1999} \left[\frac{1}{k}+\frac{1}{1998-k+1} \right]$

$=\frac{1}{1999}\sum_{k=1}^{1998}\left[\frac{1}{k}+\frac{1}{1998-k+1} \right]=\frac{2}{1999}\sum_{k=1}^{1998}\frac{1}{k}<\frac{2}{1999}\sum_{k=1}^{1998} 1=\frac{2}{1999}.1998=2\frac{1998}{1999}$

Vậy

$S<2\frac{1998}{1999}$ .