Giả sử tồn tại trường hợp mà không có số nào thỏa mãn với yêu cầu đề bài.Ta có:
-Số 5 chắc chắn không là hiệu của 2 số nào cả. (1)
-Số 4 không thể ở nhóm có 1 và 5 cùng tồn tại. (2)
-Số 3 không thể ở nhóm có 1 và 4, 2 và 5 cùng tồn tại. (3)
-Số 2 không thể ở nhóm có số 4, 1 và 3, 3 và 5 cùng tồn tại. (4)
-Số 1 không thể ở nhóm có số 2, 3 và 4, 4 và 5 cùng tồn tại. (5)
Không làm mất tính tổng quát, ta gọi 2 nhóm là I và II với 5 được xếp vào nhóm I (vì (1))
-Nếu thêm 1 vào nhóm I⇒Chỉ có thể thêm tiếp 3 vào nhóm I . (vì (2) và (5))
⇒ Nhóm II buộc phải có 2,4 (loại vì (4))
-Nếu thêm 2 vào nhóm I⇒Không thêm được số nào vào nhóm I. (vì (3),(4) và (5))
⇒ Nhóm II có 1,3,4 (loại vì (3)).
-Nếu thêm 3 vào nhóm I⇒Chỉ có thể thêm tiếp 1 hoặc 4 vào nhóm I. (vì (3))
+Nếu thêm 4⇒ nhóm II buộc phải có 1,2 (loại vì (5))
+Nếu không thêm 4⇒ nhóm II buộc phải có 2,4 (loại vì (4))
-Nếu thêm 4 vào nhóm I⇒ Chỉ có thể thêm tiếp 3 (vì (4) và (2))
⇒ Nhóm II buộc phải có 1,2 (loại vì (5)).
-Nếu không thêm số nào ⇒ Nhóm II có 1,2,3,4 (loại vì (5))
Vậy không có trường hợp nào thỏa mãn ⇒ Giả sử sai ⇒ Ta có ĐPCM.