- Nếu tam giác $ABC$ không nhọn thì \(\cos A\cos B\cos C \le 0 < \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\) (Đúng)- Nếu tam giác $ABC$ nhọn thì \(\cos A,\cos B,\cos C > 0\) và ta có \(\cos
A\cos B = \frac{1}{2}\left( {c{\rm{os}}\left( {A - B} \right) +
c{\rm{os}}\left( {A + B} \right)} \right) \le \frac{1}{2}\left( {1 -
\cos C} \right) = {\sin ^2}\frac{C}{2}\)Làm tương tự đối với $\cos B \cos C, \cos C\cos A$ rồi nhân hai vế ta được \((\cos A\cos B\cos C)^2\le (\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2})^2\)(đpcm)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C$ \(\Leftrightarrow \Delta ABC\)đều.
- Nếu tam giác $ABC$ không nhọn thì \(\cos A\cos B\cos C \le 0 < \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\) (Đúng)- Nếu tam giác $ABC$ nhọn thì \(\cos A,\cos B,\cos C > 0\) và ta có \(\cos
A\cos B = \frac{1}{2}\left( {c{\rm{os}}\left( {A - B} \right) +
c{\rm{os}}\left( {A + B} \right)} \right) \le \frac{1}{2}\left( {1 -
\cos C} \right) = {\sin ^2}\frac{C}{2}\)Làm tương tự đối với $\cos B \cos C, \cos C\cos A$ rồi nhân hai vế ta đươc \((\cos A\cos B\cos C)^2< (\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2})^2\)(đpcm)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C$ \(\Leftrightarrow \Delta ABC\)đều.
- Nếu tam giác $ABC$ không nhọn thì \(\cos A\cos B\cos C \le 0 < \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\) (Đúng)- Nếu tam giác $ABC$ nhọn thì \(\cos A,\cos B,\cos C > 0\) và ta có \(\cos
A\cos B = \frac{1}{2}\left( {c{\rm{os}}\left( {A - B} \right) +
c{\rm{os}}\left( {A + B} \right)} \right) \le \frac{1}{2}\left( {1 -
\cos C} \right) = {\sin ^2}\frac{C}{2}\)Làm tương tự đối với $\cos B \cos C, \cos C\cos A$ rồi nhân hai vế ta đươ
̣c \((\cos A\cos B\cos C)^2
\l
e (\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2})^2\)(đpcm)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C$ \(\Leftrightarrow \Delta ABC\)đều.