Dễ thấy dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$ nên dung Cosi, hữu tỉ hóa $\sqrt[3]{a+7}$ qua BDT trung gian là xong Theo Cosi $3\sqrt[3]{a+7}.2.2\leq (a+7+8+8)$ suy raVT$\leq \frac{a+b+c+69}{12}$mà $a^4+1+1+1\geq 4a $(Cosi 4 số) từ đó suy ra $\frac{a+b+c+69}{12}\leq \frac{\frac{a^4+b^4+c^4+9}{4}+69}{12}$Ta cần chứng minh $\frac{a^4+b^4+c^4+285}{12}\leq 2(a^4+b^4+c^4)$ $\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4 \geq 3 $ (1)Theo Cosi $a^4 +b^4 +b^4+1 \geq 4ab^2$ tương tự suy ra$3(a^4 +b^4 +c^4)+4 \geq 4(ab^2 +bc^2 +ca^2) =12$ suy ra ĐPCM
Dễ thấy dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$ nên dung Cosi, hữu tỉ hóa $\sqrt[3]{a+7}$ qua BDT trung gian là xong Theo Cosi $3\sqrt[3]{a+7}.2.2\leq (a+7+8+8)$ suy raVT$\leq \frac{a+b+c+69}{12}$mà $a^4+1+1+1\geq 4a $(Cosi 4 số) từ đó suy ra $\frac{a+b+c+69}{12}\leq \frac{\frac{a^4+b^4+c^4+9}{4}+69}{12}$Ta cần chứng minh $\frac{a^4+b^4+c^4+285}{12}\leq 2(a^4+b^4+c^4)$ $\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4 \geq 3 $ (1)Theo Cosi $a^4 +b^4 +b^4+b^4 \geq 4ab^2$ tương tự suy ra$4(a^4 +b^4 +c^4) \geq 4(ab^2 +bc^2 +ca^2) =12$ suy ra ĐPCM
Dễ thấy dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$ nên dung Cosi, hữu tỉ hóa $\sqrt[3]{a+7}$ qua BDT trung gian là xong Theo Cosi $3\sqrt[3]{a+7}.2.2\leq (a+7+8+8)$ suy raVT$\leq \frac{a+b+c+69}{12}$mà $a^4+1+1+1\geq 4a $(Cosi 4 số) từ đó suy ra $\frac{a+b+c+69}{12}\leq \frac{\frac{a^4+b^4+c^4+9}{4}+69}{12}$Ta cần chứng minh $\frac{a^4+b^4+c^4+285}{12}\leq 2(a^4+b^4+c^4)$ $\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4 \geq 3 $ (1)Theo Cosi $a^4 +b^4 +b^4+
1 \geq 4ab^2$ tương tự suy ra$
3(a^4 +b^4 +c^4)
+4 \geq 4(ab^2 +bc^2 +ca^2) =12$ suy ra ĐPCM