Giả sử thiết diện là tứ giác $AKHL$ như hình vẽ. Vì $SC$ vuông góc với $(AKHL)$ nên vuông góc với $AH$. Trong $\Delta SAC$ vuông tại $A$ ta có $\frac{HS}{HC}=\frac{SA^2}{AC^2}=\frac{1}{2}$ hay $\frac{SH}{SC}=\frac{1}{3}$.Tình được $SC=a\sqrt{3}$ nên $SH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.Ta có $SC^2=SD^2+CD^2$ nên $\Delta SCD$ vuông tại $D$. Cũng có $\Delta SHK$ vuông tại $H$ nên $\Delta SCD\sim \Delta SKH$, suy ra $SK=\frac{SH.SC}{SD}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{SD}{2}$.Tương tự ta có $SL=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{SB}{2}$. Từ đó suy ra $KL//BD$ và $KL=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.Vì $AC$ vuông góc với $BD$ mà $AC$ là hình chiếu của $AH$ trên $(ABCD)$ nên $AH$ vuông góc với $BD$, suy ra $AH$ vuông góc với $KL$. Khi đó: $S_{AKHL}=\frac{AH.KL}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}$.
Giả sử thiết diện là tứ giác $AKHL$ như hình vẽ. Vì $SC$ vuông góc với $(AKHL)$ nên vuông góc với $AH$. Trong $\Delta SAC$ vuông tại $A$ ta có $\frac{HS}{HC}=\frac{SA^2}{AC^2}=\frac{1}{2}$ hay $\frac{SH}{SC}=\frac{1}{3}$.Tình được $SC=a\sqrt{3}$ nên $SH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.Ta có $SC^2=SD^2+CD^2$ nên $\Delta SCD$ vuông tại $D$. Cũng có $\Delta SHK$ vuông tại $H$ nên $\Delta SCD\sim \Delta SKH$, suy ra $SK=\frac{SH.SC}{SD}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{SD}{2}$.Tương tự ta có $SL=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{SB}{2}$. Từ đó suy ra $KL//BD$ và $KL=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.Vì $AC$ vuông góc với $BD$ mà $AC$ là hình chiếu của $AH$ trên $(ABCD)$ nên $AH$ vuông góc với $BD$, suy ra $AH$ vuông góc với $KL$. Khi đó: $S_{AKHL}=\frac{AH.KL}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{16}$.
Giả sử thiết diện là tứ giác $AKHL$ như hình vẽ. Vì $SC$ vuông góc với $(AKHL)$ nên vuông góc với $AH$. Trong $\Delta SAC$ vuông tại $A$ ta có $\frac{HS}{HC}=\frac{SA^2}{AC^2}=\frac{1}{2}$ hay $\frac{SH}{SC}=\frac{1}{3}$.Tình được $SC=a\sqrt{3}$ nên $SH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.Ta có $SC^2=SD^2+CD^2$ nên $\Delta SCD$ vuông tại $D$. Cũng có $\Delta SHK$ vuông tại $H$ nên $\Delta SCD\sim \Delta SKH$, suy ra $SK=\frac{SH.SC}{SD}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{SD}{2}$.Tương tự ta có $SL=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{SB}{2}$. Từ đó suy ra $KL//BD$ và $KL=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.Vì $AC$ vuông góc với $BD$ mà $AC$ là hình chiếu của $AH$ trên $(ABCD)$ nên $AH$ vuông góc với $BD$, suy ra $AH$ vuông góc với $KL$. Khi đó: $S_{AKHL}=\frac{AH.KL}{2}=\frac{
a^2\sqrt{
3}}{6}$.