Đặt \(x = {2^a},y = {2^b},z = {2^c}\) thì $x, y, z >0$ và điều kiện $a + b+ c = 0$ \( \Leftrightarrow xyz = 1\). Theo bất đẳng thức Cosi \(x + y + z \ge 3\)Mặt khác \({x^3} + 1 + 1 \ge 3x \Rightarrow {x^3} \ge 3x - 2\)Tương tự \({y^3} \ge 3y - 2,{z^3} \ge 3z - 2\)\(\Rightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3\left( {x + y + z} \right) - 6\) \( = \left( {x + y + z} \right) + 2\left( {x + y + z - 3} \right) \ge \left( {x + y + z} \right)\)\( \Rightarrow {8^a} + {8^b} + {8^c} \ge {2^a} + {2^b} + {2^c}\)Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = 1 \Leftrightarrow a = b = c = 0\)
Đặt
$x = {2^a},y = {2^b},z = {2^c}
$ thì $x, y, z >0$ và điều kiện $a + b+ c = 0$
$ \Leftrightarrow xyz = 1
$. Theo bất đẳng thức Cosi
$x + y + z \ge 3
$Mặt khác
${x^3} + 1 + 1 \ge 3x \Rightarrow {x^3} \ge 3x - 2
$Tương tự
${y^3} \ge 3y - 2,{z^3} \ge 3z - 2
$$\Rightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3\left( {x + y + z} \right) - 6
$ $ = \left( {x + y + z} \right) + 2\left( {x + y + z - 3} \right) \ge \left( {x + y + z} \right)
$$ \Rightarrow {8^a} + {8^b} + {8^c} \ge {2^a} + {2^b} + {2^c}
$Đẳng thức xảy ra
$ \Leftrightarrow x = y = z = 1 \Leftrightarrow a = b = c = 0
$