Đây là một bài toán khá khó và cần một công cụ khá mạnh để giải quyết.Trước hết xin nêu ra (không chứng minh) BDT trọng số trung bình cộng - trung bình nhân tổng quát hay còn gọi là Cô-si tổng quát hoặc Cô-si trọng số.Cho $a_i, \lambda_i>0$ sao cho $\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$ thì ta có$$\sum_{i=1}^n\lambda_ia_i \ge \prod_{i=1}^na_i^{\lambda_i}.$$Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a_i=a_j, 1 \le i,j \le n.$Áp dụng BDT cho $\lambda_i=\dfrac{\frac{1}{i}}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}, a_i =x_i^i, 1 \le i \le n.$ ta được$\dfrac{A}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}=\sum_{i=1}^n\dfrac{\frac{1}{i}}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}x_i^i=\sum_{i=1}^n\lambda_ia_i \ge \prod_{i=1}^na_i^{\lambda_i}=\left ( \prod_{i=1}^nx_i \right )^{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}$.Mặt khác tử giả thiết $\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}=n$ dễ suy ra $\prod_{i=1}^nx_i \ge 1.$Do đó $A \ge \sum_{i=1}^n\frac{1}{i}.$Vậy $\min A = \sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\Leftrightarrow x_i=1, 1 \le i\le n.$
Đây là một bài toán khá khó và cần một công cụ khá mạnh để giải quyết.Trước hết xin nêu ra (không chứng minh) BDT trọng số trung bình cộng - trung bình nhân tổng quát hay còn gọi là Cô-si tổng quát hoặc Cô-si trọng số.Cho $a_i, \lambda_i>0$ sao cho $\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$ thì ta có$$\sum_{i=1}^n\lambda_ia_i \ge \prod_{i=1}^na_i^{\lambda_i}.$$Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a_i=a_j, 1 \le i,j \le n.$Áp dụng BDT cho $\lambda_i=\dfrac{\frac{1}{i}}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}, a_i =x_i^i, 1 \le i \le n.$ ta được$\dfrac{A}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}=\sum_{i=1}^n\dfrac{\frac{1}{i}}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}x_i^i=\sum_{i=1}^n\lambda_ia_i \ge \prod_{i=1}^na_i^{\lambda_i}=\left ( \prod_{i=1}^nx_i \right )^{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}$.Mặt khác tử giả thiết $\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}=n$ dễ suy ra $\prod_{i=1}^nx_i \ge 1.$Do đó $A \ge \sum_{i=1}^n\frac{1}{i}.$Vậy $\max A = \sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\Leftrightarrow x_i=1, 1 \le i\le n.$
Đây là một bài toán khá khó và cần một công cụ khá mạnh để giải quyết.Trước hết xin nêu ra (không chứng minh) BDT trọng số trung bình cộng - trung bình nhân tổng quát hay còn gọi là Cô-si tổng quát hoặc Cô-si trọng số.Cho $a_i, \lambda_i>0$ sao cho $\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$ thì ta có$$\sum_{i=1}^n\lambda_ia_i \ge \prod_{i=1}^na_i^{\lambda_i}.$$Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a_i=a_j, 1 \le i,j \le n.$Áp dụng BDT cho $\lambda_i=\dfrac{\frac{1}{i}}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}, a_i =x_i^i, 1 \le i \le n.$ ta được$\dfrac{A}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}=\sum_{i=1}^n\dfrac{\frac{1}{i}}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}x_i^i=\sum_{i=1}^n\lambda_ia_i \ge \prod_{i=1}^na_i^{\lambda_i}=\left ( \prod_{i=1}^nx_i \right )^{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}$.Mặt khác tử giả thiết $\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}=n$ dễ suy ra $\prod_{i=1}^nx_i \ge 1.$Do đó $A \ge \sum_{i=1}^n\frac{1}{i}.$Vậy $\m
in A = \sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\Leftrightarrow x_i=1, 1 \le i\le n.$