xét f(x)= \frac{x-2}{x-1}D=R\\left{ {1} \right} f'(x)= \frac{1}{(x-1)^{2}}tiếp tuyến qua A với hệ số góc k sẽ có dạng y-a=k(x-0) hay y=kx+ađặt g(x)=kx+a thì g'(x)=kđiệu kiện tiếp xúc giữa f(x) và g(x) là thế này \begin{cases}f(x)=g(x) \\ f'(x)=g'(x) \end{cases}suy ra hệ \begin{cases}kx+a=\frac{x-2}{x-1} \\ k= \frac{1}{(x-1)^{2}}\end{cases}rút k ở dưới thế lên ta được \frac{x}{(x-1)^{2}}=\frac{x-2}{x-1}vì x \neq 1 nên nhân 2 vế cho (x-1)^{2} ta được x+a(x-1)^{2}=(x-2)(x-1)khai triển rồi rút gọn ta được pt (a-1)x^{2}+2(2-a)x-1=0đặt h(x)=(a-1)x^{2}+2(2-a)x-1để kẻ dc 2 tiếp tuyến có hoành độ 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Oy thì pt h(x)=0 phải có 2 nghiệm phân biệt trái dấu và khác 1tức là \begin{cases}a-1 \neq 0 \\\Delta' h(x) >0 \\ x_{1}\times x_{2} <0 \\ h(1)\neq 0 \end{cases}suy ra \begin{cases} a \neq 1\\(2-a)^{2} +4(a-1) >0 \\ \frac{-1}{a-1}<0 \\a-1+2(2-a)-1\neq 0\end{cases} rút gọn lại ta có \begin{cases}a \neq 1 \\ a^{2} >0 \\a-1>0\\-a+2\neq 0 \end{cases}vậy \begin{cases} a\neq1 \\ a\neq0\\a>1\\a\neq2 \end{cases}Vậy a \in (1;+\infty ) \ {2}
xét f(x)=
$ \frac{x-2}{x-1}
$D=R\ {1}
; f'(x)=
$ \frac{1}{(x-1)^{2}}
$tiếp tuyến qua A với hệ số góc k sẽ có dạng
$y-a=k(x-0)
$ hay
$y=kx+a
$ đặt g(x)=
$kx+a
$ thì g'(x)=
$k
$điệu kiện tiếp xúc giữa f(x) và g(x) là thế này \begin{cases}f(x)=g(x) \\ f'(x)=g'(x) \end{cases}suy ra hệ \begin{cases}kx+a=\frac{x-2}{x-1} \\ k= \frac{1}{(x-1)^{2}}\end{cases}rút k ở dưới thế lên ta được
$\frac{x}{(x-1)^{2}}
+a =\frac{x-2}{x-1}
$vì x
$\neq
$ 1 nên nhân 2 vế cho
$(x-1)^{2}
$ ta được
$x+a(x-1)^{2}=(x-2)(x-1)
$khai triển rồi rút gọn ta được pt
$(a-1)x^{2}+2(2-a)x-1=0
$đặt h(x)=
$(a-1)x^{2}+2(2-a)x-1
$để kẻ dc 2 tiếp tuyến có hoành độ 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Oy thì pt h(x)=0 phải có 2 nghiệm phân biệt trái dấu và khác 1tức là \begin{cases}a-1 \neq 0 \\\Delta' h(x) >0 \\ x_{1}\times x_{2} <0 \\ h(1)\neq 0 \end{cases}suy ra \begin{cases} a \neq 1\\(2-a)^{2} +4(a-1) >0 \\ \frac{-1}{a-1}<0 \\a-1+2(2-a)-1\neq 0\end{cases} rút gọn lại ta có \begin{cases}a \neq 1 \\ a^{2} >0 \\a-1>0\\-a+2\neq 0 \end{cases}vậy \begin{cases} a\neq1 \\ a\neq0\\a>1\\a\neq2 \end{cases}Vậy a
$\in (1;+\infty )
$ \
{2}