Gợi ý dùng BĐT $$\frac{1}{XY} \le \frac14\left (\frac{1}{X} + \frac{1}{Y} \right ).$$Vế trái $=\sum \frac{ab}{c+ab}=\sum \frac{ab}{(a+b+c)c+ab}=\sum \frac{ab}{(c+a)(c+b)}$$ \le \frac14\sum \left (\frac{a}{a+c} + \frac{b}{b+c} \right )= \frac14\sum \left (\frac{a}{a+c} + \frac{c}{a+c} \right )=\frac34=$ Vế phải.
Vế trái $
=\sum \frac{
ab}{
c+ab}
=\
sum \frac
{ab}{(a
+b+c
)c+a
b}=\sum
\frac{ab}{
(c+a
)(c+b
)}= \frac{
\sum ab(a+b
)}{(c+
a)
(c+
b)(a
+b
)}
$.Như vậy cần chứng m
inh $\frac{
\sum ab
(a+b)}{(c+a)(c+b)
(a+b)} \
ge \frac
34 $$\Leftrightarrow 4\sum
ab(a+b) \
ge
3(
c+a)(c+b)(a+b)$$\
Lef
tr
ighta
rrow 4\sum a
b(a+
b) \ge 3\
lef
t ( \sum ab
(a+b
) +
2abc \right )
$$\Leftrightarrow \sum ab(a+b) \
ge 6abc$$\Lef
tr
ighta
rrow \sum
ab(1-c) \
ge 6abc$$\Leftrightarrow ab+bc+ca \ge 9abc$$\Left
rightarrow \frac{
1}{a
} +
\frac
{1}{b} +\frac{
1}{c} \g
e 9$
BĐT này dễ dàng chứng minh
được với điều ki
ện $a+b+c=1.
$