$x^{2}+y^{2}+xy \geq\ frac{3}{4}\left ( x+y \right )^{2}$2(x^{2]+y^{2})\geq\left ( x+y \right )^{2}Vậy ở vế 1: VT\geqVPDấu ''='' xảy ra : x=y.Do VT\geq0 nên x\geq0Thế vào vế 2:x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }=2\sqrt{2}x-\sqrt{2}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }-\sqrt{2} \left ( x-\sqrt{2} \right )\left ( 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\left ( x+\sqrt{2x^{2}-2} \right )\sqrt{x^{2}-1} } \right )=0x=\sqrt{2} hoặc 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\left ( x+\sqrt{2x^{2}-3} \right )\sqrt{x^{2}-1} } (2)(2) =>x\left ( 1-\sqrt{x^{2}-1} \right )=\sqrt{2}\left ( x^{2}-2 \right ) \left ( 2-x^{2} \right )\left ( \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2} \right )=0Nên x=\sqrt{2}( dox\geq0, \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2}\nleqslant0 với mọi x\geq0)Vậy pt có nghiệm duy nhất x= \sqrt{2}
$x^{2}+y^{2}+xy \geq
\frac{3}{4}
\left ( x+y \right )^{2}$
$ 2
\left (
x^{2
}+y^{2}
\right )\geq
\left ( x+y \right )^{2}
$$Vậy
ở
vế
1: VT\geq
VP
$$Dấu ''='' xảy
ra : x=y.Do
VT\geq0
nên
x\geq0
$Thế vào vế 2:
$x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }=2\sqrt{2}
$$x-\sqrt{2}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }-\sqrt{2}
=0$$\left ( x-\sqrt{2} \right )\left ( 1-\frac{x+\sqrt{2} }{
\sqrt{x^{2}-1}\left ( x+\sqrt{2x^{2}-2} \right ) } \right )=0
$ $x=\sqrt{2}
hoặc
1-\frac{x+\sqrt{2} }{\
sqrt{x^{2}-1} \left ( x+\sqrt{2x^{2}-
x} \right )}
=0 (2)
$$(2)=>
x
+\
sqrt
{2}=x\sqrt{x^{2}-1}
+\sqrt{2}\left ( x^{2}-
1 \right )
$$(2-x^{2})\left (
\frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2} \right )=0
$$=>x=\sqrt{2}(
Do
x\geq
0,
\sqrt{2} +\frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }
>
;0
với
mọi
x
$$Vậy
pt
có
nghiệm
duy
nhất
x= \sqrt{2}
$