Bài 2b.Ta có: $\sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}=a^4+a^3\geq \frac{3}{4}(a+1)(b+1)(c+1)$Ta phải chứng minh BĐT sau:$\sum (a^4+a^3)\geq \frac{1}{4}\sum(a+1)^3$Xét hàm số $f(t)=t^4+t^3-\frac{1}{4}(t+1)^3$$g(t)=(t+1)(4t^2+3t+1)$ thì $f(t)=\frac{1}{4}(t-1).g(t)$Nhận thấy $g(t)$ tăng trong khoảng $(0;+\infty )$ và $g(t)>0,\forall t>0$Do đó: $\sum(a^4+a^3)-\frac{1}{4}\sum(a+a)^3=\sum f(a)=\frac{1}{4}\sum(a-1).g(a)$Không mất tính tổng quát ta giả sử:$a\geq b\geq c$ thì $g(a)\geq g(b)\geq g(c)>0$Vì $abc=1$ nên ta có: $a\geq 1,c\leq 1$Từ đó: $(a-1)g(a)\geq (a-1)g(b)$$(c-1)g(b)\leq (c-1)g(c)$Nên ta có: $\frac{1}{4}\sum(a-1)g(a)\geq \frac{1}{4}g(b)\sum(a-1)=\frac{1}{4}g(b)\sum a-\frac{3}{4}g(b)\geq \frac{3}{4}(\sqrt[3]{abc}-1).g(b)=0$Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$. Từ đó $\Rightarrow đpcm$
Bài
3b.Ta có: $\sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}=a^4+a^3\geq \frac{3}{4}(a+1)(b+1)(c+1)$Ta phải chứng minh BĐT sau:$\sum (a^4+a^3)\geq \frac{1}{4}\sum(a+1)^3$Xét hàm số $f(t)=t^4+t^3-\frac{1}{4}(t+1)^3$$g(t)=(t+1)(4t^2+3t+1)$ thì $f(t)=\frac{1}{4}(t-1).g(t)$Nhận thấy $g(t)$ tăng trong khoảng $(0;+\infty )$ và $g(t)>0,\forall t>0$Do đó: $\sum(a^4+a^3)-\frac{1}{4}\sum(a+a)^3=\sum f(a)=\frac{1}{4}\sum(a-1).g(a)$Không mất tính tổng quát ta giả sử:$a\geq b\geq c$ thì $g(a)\geq g(b)\geq g(c)>0$Vì $abc=1$ nên ta có: $a\geq 1,c\leq 1$Từ đó: $(a-1)g(a)\geq (a-1)g(b)$$(c-1)g(b)\leq (c-1)g(c)$Nên ta có: $\frac{1}{4}\sum(a-1)g(a)\geq \frac{1}{4}g(b)\sum(a-1)=\frac{1}{4}g(b)\sum a-\frac{3}{4}g(b)\geq \frac{3}{4}(\sqrt[3]{abc}-1).g(b)=0$Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$. Từ đó $\Rightarrow đpcm$