Lấy $(1)-2(2)$ ta được$e^{x-y}-e^{x+y}=2y$$\Leftrightarrow e^{x-y}+x-y=e^{x+y}+x+y$$\Leftrightarrow f(x-y)=f(x+y)$ $(*)$Xét hàm số $f(t)=e^t+t$ thì có $f'(t)=e^t+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$$\Rightarrow $ Hàm $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$Từ đó: $(*)\Leftrightarrow x-y=x+y\Leftrightarrow y=0$Thế vào $(2)\Leftrightarrow e^x=x+1\Rightarrow x>-1$Xét hàm số $f(x)=e^x-x-1$ trên khoảng $(-1;+\infty )$ thì có $f'(x)=e^x-1$Theo Rolle thì $f'(x)=0$ có 1 nghiệm thì $f(x)=0$ có tối đa 2 nghiệmMà $f(0)=1$ nên $x=0$ là nghiệm duy nhấtVậy $(x;y)=(0;0)$
Lấy $(1)-2(2)$ ta được$e^{x-y}-e^{x+y}=2y$$\Leftrightarrow e^{x-y}+x-y=e^{x+y}+x+y$$\Leftrightarrow f(x-y)=f(x+y)$ $(*)$Xét hàm số $f(t)=e^t+t$ thì có $f'(t)=e^t+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$$\Rightarrow $ Hàm $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$Từ đó: $(*)\Leftrightarrow x-y=x+y\Leftrightarrow y=0$Thế vào $(2)\Leftrightarrow e^x=x+1\Rightarrow x>-1$Xét hàm số $f(x)=e^x-x$ trên khoảng $(-1;+\infty )$ thì có $f'(x)=e^x-1$Theo Rolle thì $f'(x)=1$ thì $f(x)=1$ có tối đa 2 nghiệmMà $f(0)=1$ nên $x=0$ là nghiệm duy nhấtVậy $(x;y)=(0;0)$
Lấy $(1)-2(2)$ ta được$e^{x-y}-e^{x+y}=2y$$\Leftrightarrow e^{x-y}+x-y=e^{x+y}+x+y$$\Leftrightarrow f(x-y)=f(x+y)$ $(*)$Xét hàm số $f(t)=e^t+t$ thì có $f'(t)=e^t+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$$\Rightarrow $ Hàm $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$Từ đó: $(*)\Leftrightarrow x-y=x+y\Leftrightarrow y=0$Thế vào $(2)\Leftrightarrow e^x=x+1\Rightarrow x>-1$Xét hàm số $f(x)=e^x-x
-1$ trên khoảng $(-1;+\infty )$ thì có $f'(x)=e^x-1$Theo Rolle thì $f'(x)=
0$
có 1 nghiệm thì $f(x)=
0$ có tối đa 2 nghiệmMà $f(0)=1$ nên $x=0$ là nghiệm duy nhấtVậy $(x;y)=(0;0)$