Ta có:a$\sqrt{b^{3}+1}$+b$\sqrt{c^{3}+1}$+c$\sqrt{a^{3}+1}$=a$\sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)}$ + b$\sqrt{(c+1)(c^{2}-c+1)}$+c$\sqrt{(a+1)(a^{2}-a+1)}$$\leq$a.$\frac{b^{2}+2}{2}$+b.$\frac{c^{2}+2}{2}$+c.$\frac{a^{2}+2}{2}$=$\frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{2}$+3(1)Ta phải cm:a$b^{2}$+b$c^{2}$+c$a^{2}$$\leq$4Gỉa sử a$\leq$b$\leq$c,ta có:a(b-a)(b-c)$\leq$0(2)$\Leftrightarrow$a$b^{2}$+c$a^{2}$ $ \leq$b$a^{2}$+abc$\Leftrightarrow $a$b^{2}$+b$c^{2}$+c$a^{2}$$\leq$b$a^{2}$+abc+b$c^{2}$=b($a^{2}$+ac+$c^{2}$)$\leq$b$(a+c)^{2}$=$\frac{1}{2}$.2b.$(3-b)^{2}$$\leq$$\frac{1}{2}$.$(\frac{2b+3-b+3-b}{3})^{3}$=4(3)$\Rightarrow$đpcmXét dấu''='' xra ở (1);(2);(3)$\Rightarrow $Dấu''=''xra$\Leftrightarrow$a=0;b=1;c=2 (và các hoán vị tùy theo cách ta giả sử)
Ta có:$
a\sqrt{b^{3}+1}+b\sqrt{c^{3}+1}+c\sqrt{a^{3}+1}$=$
a\sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)} + b\sqrt{(c+1)(c^{2}-c+1)}+c\sqrt{(a+1)(a^{2}-a+1)}$$\leq
a.\frac{b^{2}+2}{2}+b.\frac{c^{2}+2}{2}+c.\frac{a^{2}+2}{2}=\frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{2}+3(1)
$Ta phải cm:$
ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq4
$Gỉa sử
$a \leq
b
\leq
c$,ta có:
$a(b-a)(b-c)\leq0(2)
$$\Leftrightarrow
ab^{2}+ca^{2} \leq
ba^{2}+abc
$$\Leftrightarrow ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq
ba^{2}+abc+bc^{2}=b(a^{2}+ac+c^{2})\leq
b(a+c)^{2}=\frac{1}{2}.2b.(3-b)^{2}$$\leq$$\frac{1}{2}$.$(\frac{2b+3-b+3-b}{3})^{3}$=4(3)$\Rightarrow$đpcmXét dấu''='' xra ở
$(1);(2);(3)
$$\Rightarrow $Dấu''=''xra$\Leftrightarrow
a=0;b=1;c=2
$ (và các hoán vị tùy theo cách ta giả sử)